벼락치기 연구소

대학기초수학

1강 ~ 8강

집합과 명제

📦 집합의 정의

집합(Set)이란? 어떤 조건에 의해 그 대상을 분명하게 정할 수 있는 모임이야.

집합인 것

"10보다 작은 자연수의 모임"

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} -- 명확!

집합이 아닌 것

"키가 큰 사람들의 모임"

"큰"의 기준이 모호 -- 사람마다 다름!

핵심 포인트: 집합의 대상 하나하나를 원소원소 (Element)
집합을 이루는 개별 대상. a가 집합 A의 원소이면 a ∈ A, 아니면 a ∉ A로 표기(element)라 하고, a가 집합 A의 원소일 때 a ∈ A로 쓴다.

✏️ 집합의 표시법

원소나열법

원소를 직접 나열하는 방법

A = {1, 2, 3, 4, 5}

조건제시법

원소의 공통 성질로 나타내는 방법

A = {x | x는 5 이하의 자연수}

원소나열법 = 친구 이름 하나하나 부르기: "민수, 영희, 철수!"

조건제시법 = 조건으로 묶기: "우리 반 남학생 전체"

📊 집합의 종류

종류	설명	예시
유한집합	원소의 개수가 유한한 집합	{1, 2, 3}
무한집합	원소의 개수가 무한한 집합	자연수의 집합 N = {1, 2, 3, ...}
공집합	원소가 하나도 없는 집합	∅ 또는 { }

주의! 공집합은 모든 집합의 부분집합이야. 시험에 자주 나오니까 꼭 기억해!

{0}은 공집합이 아니야! 원소 0이 들어있는 집합이지. 공집합은 { }로 원소가 아무것도 없는 거야.

🔧 집합의 연산

전체집합 U가 있을 때, 집합 A와 B에 대한 연산들을 정리해보자.

연산	기호	의미
합집합	A ∪ B	A 또는 B에 속하는 원소 전체
교집합	A ∩ B	A 그리고 B 둘 다에 속하는 원소
차집합	A - B (또는 A \ B)	A에는 속하지만 B에는 속하지 않는 원소
여집합	A^c	전체집합 U에서 A를 뺀 나머지 (U - A)

예제: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} 일 때

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A ∩ B = {3, 4}

A - B = {1, 2}

B - A = {5, 6}

🔄 드모르간 법칙

드모르간 법칙 (집합)

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

"합의 여집합 = 여집합의 교" / "교의 여집합 = 여집합의 합"

"A도 B도 아닌 것" = "A가 아닌 것" 그리고 "B가 아닌 것"

"A이면서 B인 게 아닌 것" = "A가 아닌 것" 또는 "B가 아닌 것"

외우는 법: 보수 씌우면 ∪ ↔ ∩ 뒤집힌다!

🔢 원소의 개수

합집합의 원소의 개수

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

세 집합의 합집합

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(B∩C) - n(A∩C) + n(A∩B∩C)

예제: 학생 40명 중 수학 좋아하는 학생 25명, 영어 좋아하는 학생 20명, 둘 다 좋아하는 학생 10명일 때

수학 또는 영어를 좋아하는 학생 = 25 + 20 - 10 = 35명

둘 다 싫어하는 학생 = 40 - 35 = 5명

시험 팁: "적어도 하나"라는 표현이 나오면 합집합, "둘 다 아닌"은 여집합을 떠올려!

🪆 부분집합

집합 A의 모든 원소가 집합 B에도 속할 때, A를 B의 부분집합부분집합 (Subset)
A ⊆ B: A의 모든 원소가 B에도 속함. 자기 자신과 공집합은 항상 부분집합!이라 하고 A ⊆ B로 쓴다.

부분집합의 개수

원소가 n개인 집합의 부분집합 개수 = 2ⁿ

예제: A = {1, 2, 3}의 부분집합

∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}

총 2³ = 8개

각 원소마다 "넣는다 / 안 넣는다" 2가지 선택이 있으니까, 원소 n개면 2 x 2 x ... x 2 = 2ⁿ가지!

📚 멱집합과 상동

멱집합멱집합 (Power Set)
어떤 집합의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합. P(A)로 표기. |P(A)| = 2^n P(A)는 A의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합이야.

예제: A = {1, 2}일 때

P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}

P(A)의 원소 개수 = 2² = 4개

상동(서로 같은 집합): A ⊆ B 이고 B ⊆ A 이면 A = B이다.

증명 팁: 두 집합이 같음을 보이려면 "A ⊆ B"와 "B ⊆ A"를 각각 보이면 돼! 이걸 쌍포함이라 해.

⊊ 진부분집합

A ⊆ B 이고 A ≠ B일 때, A를 B의 진부분집합진부분집합 (Proper Subset)
부분집합 중 자기 자신을 제외한 것. A ⊊ B로 표기이라 하고 A ⊊ B로 쓴다.

진부분집합의 개수

원소가 n개인 집합의 진부분집합 개수 = 2ⁿ - 1

전체 부분집합에서 자기 자신만 빼면 됨!

예제: A = {a, b, c}의 진부분집합의 개수

2³ - 1 = 8 - 1 = 7개

(∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c} -- {a,b,c}만 빠짐!)

시험 빈출: "A를 포함하는 부분집합의 개수"처럼 특정 원소를 반드시 포함/제외하는 문제도 자주 나와!

원소 k개를 반드시 포함하는 부분집합 개수 = 2^n-k (나머지 원소만 선택하면 됨)

💬 명제의 정의

명제명제 (Proposition)
참(True) 또는 거짓(False)을 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식란 참 또는 거짓을 명확하게 판별할 수 있는 문장이야.

명제인 것

"2는 짝수이다" (참)

"3 > 5" (거짓)

"모든 소수는 홀수이다" (거짓)

명제가 아닌 것

"x + 1 = 3" (x에 따라 다름)

"수학은 재밌다" (주관적)

"빨리 와!" (명령문)

🚫 명제의 부정

명제 p의 부정부정 (Negation)
명제 p가 참이면 ¬p는 거짓, p가 거짓이면 ¬p는 참. "~p"로도 씀은 ¬p (또는 ~p)로 쓰며, p가 참이면 거짓, 거짓이면 참이야.

p	¬p
참(T)	거짓(F)
거짓(F)	참(T)

🔗 논리합과 논리곱

논리합 (p ∨ q)

"p 또는 q"

둘 중 하나라도 참이면 참

둘 다 거짓일 때만 거짓

논리곱 (p ∧ q)

"p 그리고 q"

둘 다 참일 때만 참

하나라도 거짓이면 거짓

p	q	p ∨ q (OR)	p ∧ q (AND)
T	T	T	T
T	F	T	F
F	T	T	F
F	F	F	F

🔄 드모르간 법칙 (논리)

드모르간 법칙 (명제)

¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q)

¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q)

집합에서 ∪ ↔ ∩ 뒤집히듯이, 논리에서도 ∨ ↔ ∧ 뒤집혀!

"둘 다 아닌" = "이것도 아니고" 그리고 "저것도 아니고"

🔁 "어떤"과 "모든"의 부정

한정사의 부정

"모든 x에 대해 p(x)" 의 부정 → "어떤 x에 대해 ¬p(x)"

"어떤 x에 대해 p(x)" 의 부정 → "모든 x에 대해 ¬p(x)"

예제: "모든 학생이 시험에 합격했다"의 부정

→ "어떤 학생은 시험에 합격하지 못했다" (= 불합격 학생이 적어도 한 명 존재)

외우는 법: 부정하면 "모든 ↔ 어떤" 이 바뀌고, 안의 명제도 부정된다!

🎯 진리집합

조건 p(x)를 참으로 만드는 모든 x의 집합을 진리집합진리집합 (Truth Set)
주어진 조건을 참으로 만드는 원소들의 집합. P = {x | p(x)는 참}이라 하고 P = {x | p(x)는 참}으로 나타내.

예제: 전체집합 U = {1, 2, 3, 4, 5}에서

p(x): "x는 짝수이다" → 진리집합 P = {2, 4}

q(x): "x ≤ 3" → 진리집합 Q = {1, 2, 3}

➡️ 조건명제 p → q

"p이면 q이다"를 조건명제조건명제 (Conditional)
p → q: "p이면 q이다". p가 참이고 q가 거짓일 때만 거짓, 나머지는 모두 참라 하고 p → q로 쓴다.

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

핵심: p → q가 거짓인 경우는 딱 하나! "가정(p)은 참인데 결론(q)이 거짓"일 때만!

진리집합으로 보면: P ⊆ Q이면 p → q는 참이야.

🔃 역, 이, 대우

이름	형태	원래 명제와의 관계
원래 명제	p → q	-
역	q → p	진리값 다를 수 있음
이	¬p → ¬q	진리값 다를 수 있음
대우	¬q → ¬p	항상 같음!

대우의 핵심 성질

p → q 와 ¬q → ¬p 는 항상 진리값이 같다!

역과 이도 서로 대우 관계 → 진리값 항상 같음

예제: "x = 2이면 x² = 4이다" (참)

역: "x² = 4이면 x = 2이다" (거짓! x = -2도 가능)

이: "x ≠ 2이면 x² ≠ 4이다" (거짓!)

대우: "x² ≠ 4이면 x ≠ 2이다" (참!)

⚡ 충분조건 / 필요조건 / 필요충분조건

p → q가 참일 때:

p는 q의 충분조건

p만 있으면 q는 충분히 됨

q는 p의 필요조건

q가 없으면 p도 안 됨

p ↔ q: 필요충분조건

p → q 그리고 q → p 둘 다 참

진리집합으로 판단하기:

P ⊆ Q → p는 q의 충분조건 (P가 Q 안에 들어감)

Q ⊆ P → p는 q의 필요조건 (Q가 P 안에 들어감)

P = Q → p는 q의 필요충분조건

예제: p: "x = 1", q: "x² = 1"

P = {1}, Q = {-1, 1}

P ⊆ Q이므로 p → q 참. 즉 p는 q의 충분조건

Q ⊄ P이므로 q → p 거짓. 즉 p는 q의 필요조건은 아님

📐 직접 증명법

가정 p에서 출발해 논리적 추론을 통해 결론 q를 직접 유도하는 방법이야.

코시-슈바르츠 부등식 활용 예:

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²

증명: (ad - bc)² ≥ 0 을 전개하면 위 부등식이 나옴

산술-기하-조화 평균 부등식

a > 0, b > 0 일 때

조화평균 ≤ 기하평균 ≤ 산술평균

2/(1/a + 1/b) ≤ √(ab) ≤ (a+b)/2

등호 조건: a = b

기억법: "조기산" -- 조 ≤ 기 ≤ 산 순서로 커진다!

산술평균이 가장 크고, 조화평균이 가장 작아. 등호는 두 수가 같을 때!

💥 귀류법 (Proof by Contradiction)

귀류법귀류법
증명하려는 명제의 결론을 부정한 뒤, 논리를 전개하여 모순을 이끌어내는 증명법은 증명하려는 것의 반대를 가정하고, 모순을 이끌어내서 원래 명제가 참임을 보이는 방법이야.

결론을 부정
¬q를 가정

→

논리 전개
가정과 결합

→

모순 발견!
가정이 틀림

→

원래 명제 참
증명 완료

대표 예제: √2가 무리수임을 증명

1단계: √2가 유리수라고 가정 → √2 = a/b (a, b는 서로소인 자연수)

2단계: 양변 제곱 → 2 = a²/b² → a² = 2b²

3단계: a²이 짝수 → a도 짝수 → a = 2k로 놓으면

4단계: (2k)² = 2b² → 4k² = 2b² → b² = 2k² → b도 짝수

5단계: a, b 둘 다 짝수 → 서로소라는 가정에 모순!

결론: √2는 유리수가 아니다 → 무리수

시험에서 귀류법이 쓰이는 경우:

"~은 무리수이다", "~은 존재하지 않는다" 같은 부정적 명제를 증명할 때 유용!

1강 핵심 정리

집합 = 대상을 분명하게 정할 수 있는 모임. 원소나열법/조건제시법으로 표시
집합 연산: ∪(합), ∩(교), -(차), ^c(여). 드모르간: 보수 씌우면 ∪↔∩
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
부분집합 개수 = 2ⁿ, 진부분집합 개수 = 2ⁿ - 1
명제 = 참/거짓 판별 가능한 문장. 부정(¬), 논리합(∨), 논리곱(∧)
조건명제 p → q: p 참이고 q 거짓일 때만 거짓
대우(¬q → ¬p)는 원래 명제와 항상 진리값 동일
충분조건: P⊆Q / 필요조건: Q⊆P / 필요충분: P=Q
직접 증명법: 코시-슈바르츠, 산술-기하-조화 평균 부등식
귀류법: 결론 부정 → 모순 → 원래 참 (예: √2 무리수 증명)

실수와 복소수

🔢 실수의 분류

수의 세계는 이렇게 확장되어 왔어:

자연수 N
1, 2, 3, ...

⊂

정수 Z
..., -1, 0, 1, ...

⊂

유리수 Q
a/b (b≠0)

⊂

실수 R
유리수 + 무리수

분류	설명	예시
자연수 N	양의 정수 (1부터 시작)	1, 2, 3, 100, ...
정수 Z	자연수 + 0 + 음의 정수	..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
유리수 Q	a/b 꼴 (a, b 정수, b ≠ 0)	1/2, -3/4, 0.333..., 7
무리수	유리수가 아닌 실수 (순환하지 않는 무한소수)	√2, π, e
실수 R	유리수 + 무리수 전체	수직선 위의 모든 점

🔒 "닫혀있다"의 개념

어떤 집합에서 특정 연산을 했을 때 결과가 항상 그 집합 안에 있으면 "그 연산에 대해 닫혀있다"고 해.

집합	덧셈	뺄셈	곱셈	나눗셈
자연수 N	O	X (3-5=-2)	O	X (1/2)
정수 Z	O	O	O	X (1/3)
유리수 Q	O	O	O	O (0 제외)
실수 R	O	O	O	O (0 제외)

왜 수가 확장되었을까? 자연수에서 뺄셈이 안 닫혀있으니까 정수를 만들고, 정수에서 나눗셈이 안 닫혀있으니까 유리수를 만들고... 이런 식으로 수 체계가 확장된 거야!

⚙️ 실수의 연산 법칙

법칙	덧셈	곱셈
교환법칙	a + b = b + a	a x b = b x a
결합법칙	(a+b)+c = a+(b+c)	(ab)c = a(bc)
분배법칙	a(b+c) = ab + ac
항등원	a + 0 = a (0이 항등원)	a x 1 = a (1이 항등원)
역원	a + (-a) = 0	a x (1/a) = 1 (a ≠ 0)

항등원 = 연산해도 값이 안 변하게 하는 수. 덧셈의 항등원은 0, 곱셈의 항등원은 1.

역원 = 연산하면 항등원이 나오게 하는 수. 덧셈의 역원은 -a, 곱셈의 역원은 1/a.

📏 대소 비교의 성질

실수 a, b, c에 대해

a > b, b > c → a > c (추이성)

a > b → a + c > b + c (양변에 같은 수 더하기)

a > b, c > 0 → ac > bc (양수 곱하기)

a > b, c < 0 → ac < bc (음수 곱하면 부등호 반전!)

시험 단골: 부등식 양변에 음수를 곱하면 부등호 방향이 반대로 바뀐다! 이거 자주 실수하니까 주의!

예: -2 > -5인데, 양변에 -1을 곱하면 2 < 5

대소 비교 방법: a와 b의 크기를 비교하려면 a - b의 부호를 조사!

a - b > 0 → a > b

a - b = 0 → a = b

a - b < 0 → a < b

|x| 절댓값

절댓값의 정의

|a| = a (a ≥ 0일 때) 또는 -a (a < 0일 때)

수직선 위에서 원점까지의 거리!

절댓값의 성질:

성질	식
항상 0 이상	\|a\| ≥ 0, 등호는 a = 0
제곱과의 관계	\|a\|² = a²
곱의 절댓값	\|ab\| = \|a\| x \|b\|
삼각부등식	\|a + b\| ≤ \|a\| + \|b\|
역삼각부등식	\| \|a\| - \|b\| \| ≤ \|a - b\|

절댓값 방정식/부등식:

|x| = 3 → x = 3 또는 x = -3

|x| < 3 → -3 < x < 3

|x| > 3 → x < -3 또는 x > 3

절댓값 = 거리라고 생각하면 쉬워!

|x - 2| < 3 → "x에서 2까지의 거리가 3보다 작다" → -1 < x < 5

➗ 나눗셈과 나머지

나눗셈 정리

a = bq + r (0 ≤ r < |b|)

a를 b로 나누면 몫 q, 나머지 r

예제: 17을 5로 나누면

17 = 5 x 3 + 2 → 몫 = 3, 나머지 = 2

🔑 소수와 합성수

소수 (Prime)

1과 자기 자신만 약수인 자연수 (2 이상)

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

합성수 (Composite)

1과 자기 자신 외에 다른 약수도 있는 자연수

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...

주의! 1은 소수도 합성수도 아니야! 그리고 2는 유일한 짝수 소수!

🧱 소인수분해

자연수를 소수소인수분해
자연수를 소수들의 곱으로 나타내는 것. 모든 2 이상의 자연수는 유일하게 소인수분해됨 (산술의 기본정리)들의 곱으로 나타내는 것이야.

예제: 360을 소인수분해

360 = 2³ x 3² x 5¹

N = p₁^a₁ x p₂^a₂ x ... x pₖ^aₖ 일 때

약수의 개수 = (a₁+1)(a₂+1)...(aₖ+1)

약수의 총합 = (1+p₁+...+p₁^a₁)(1+p₂+...+p₂^a₂)...(1+pₖ+...+pₖ^aₖ)

예제: 360 = 2³ x 3² x 5¹의 약수의 개수

(3+1)(2+1)(1+1) = 4 x 3 x 2 = 24개

🤝 최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)

최대공약수 GCD

공통 약수 중 가장 큰 수

소인수분해 후 공통 소인수의 작은 지수

최소공배수 LCM

공통 배수 중 가장 작은 수

소인수분해 후 모든 소인수의 큰 지수

GCD와 LCM의 관계

GCD(a, b) x LCM(a, b) = a x b

예제: 72 = 2³ x 3², 90 = 2 x 3² x 5

GCD = 2¹ x 3² = 18 (공통 소인수의 작은 지수)

LCM = 2³ x 3² x 5 = 360 (모든 소인수의 큰 지수)

검산: 18 x 360 = 6480 = 72 x 90 ✓

💻 p진법 (진법 변환)

우리가 보통 쓰는 건 10진법이지만, 컴퓨터는 2진법을 쓰지.

p진법 표기

(aₙaₙ₋₁...a₁a₀)_p = aₙ x pⁿ + aₙ₋₁ x p^n-1 + ... + a₁ x p + a₀

예제 1: (1101)₂를 10진법으로

= 1x2³ + 1x2² + 0x2¹ + 1x2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

예제 2: 25를 2진법으로

25 ÷ 2 = 12 ... 1

12 ÷ 2 = 6 ... 0

6 ÷ 2 = 3 ... 0

3 ÷ 2 = 1 ... 1

1 ÷ 2 = 0 ... 1

나머지를 아래서 위로 읽으면: (11001)₂

진법 변환 꿀팁: 10진법 → p진법은 계속 나누면서 나머지를 거꾸로 읽기!

🌀 복소수의 정의

실수만으로는 x² = -1의 해를 구할 수 없어. 그래서 허수단위허수단위 i
i² = -1을 만족하는 수. 실수가 아닌 새로운 수! i를 도입했어.

허수단위의 정의

i² = -1 (즉, i = √(-1))

복소수복소수 (Complex Number)
a + bi 형태의 수. a는 실수부, b는 허수부. b=0이면 실수, a=0이고 b≠0이면 순허수는 a + bi (a, b는 실수) 형태의 수야.

구분	조건	예시
실수	b = 0	3, -2, π, 0
허수	b ≠ 0	2 + 3i, -i, 1 - 4i
순허수	a = 0, b ≠ 0	3i, -2i, i

⚖️ 복소수의 상등

두 복소수가 같을 조건

a + bi = c + di ⇔ a = c 이고 b = d

실수부끼리 같고 허수부끼리 같아야 함!

예제: (2x + 1) + (y - 3)i = 5 + 2i 일 때 x, y를 구하시오.

실수부: 2x + 1 = 5 → x = 2

허수부: y - 3 = 2 → y = 5

🪞 켤레복소수

z = a + bi의 켤레복소수켤레복소수 (Conjugate)
z = a + bi의 켤레는 z = a - bi. 허수부의 부호만 반대!는 z = a - bi야. (허수부 부호만 반대)

켤레복소수의 성질

z + z = 2a (실수)

z x z = a² + b² (실수, 항상 ≥ 0)

z = z (두 번 켤레하면 원래로)

활용: 복소수의 나눗셈에서 분모를 실수로 만들 때 켤레복소수를 곱해!

(a+bi) ÷ (c+di) = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (a+bi)(c-di) / (c²+d²)

🧮 복소수의 사칙연산

(a + bi)와 (c + di)에 대해:

연산	계산법
덧셈	(a+c) + (b+d)i
뺄셈	(a-c) + (b-d)i
곱셈	(ac-bd) + (ad+bc)i
나눗셈	분모의 켤레를 곱하여 분모 실수화

곱셈 예제: (2 + 3i)(4 - i)

= 8 - 2i + 12i - 3i²

= 8 + 10i - 3(-1)

= 8 + 10i + 3 = 11 + 10i

🔄 i의 거듭제곱 (주기 4)

거듭제곱	값
i¹	i
i²	-1
i³	-i
i⁴	1
i⁵	i (다시 반복!)

i의 거듭제곱 규칙

iⁿ의 값은 n을 4로 나눈 나머지로 결정!

나머지 0 → 1, 나머지 1 → i, 나머지 2 → -1, 나머지 3 → -i

예제: i²⁰²⁵ = ?

2025 ÷ 4 = 506 ... 1

나머지 1이니까 i²⁰²⁵ = i

시험 꿀팁: i + i² + i³ + i⁴ = i + (-1) + (-i) + 1 = 0

연속 4개씩 묶으면 항상 0이 돼! i¹ + i² + ... + i^4k = 0

2강 핵심 정리

수 체계: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. 유리수 + 무리수 = 실수
닫혀있다: 연산 결과가 항상 같은 집합 안에 있음
연산 법칙: 교환, 결합, 분배, 항등원(0,1), 역원(-a, 1/a)
부등식: 음수 곱하면 부등호 방향 반전! a - b의 부호로 대소 비교
절댓값: |a| = 거리 개념. 삼각부등식 |a+b| ≤ |a|+|b|
소인수분해: 약수 개수 = (a₁+1)(a₂+1)...(aₖ+1)
GCD x LCM = a x b
p진법: 10진법 → p진법은 나누기 반복 후 나머지 역순 읽기
복소수: a + bi, 허수단위 i² = -1
켤레복소수: z = a - bi, z x z = a² + b²
i의 주기: i, -1, -i, 1 반복 (주기 4)

인수분해와 나머지정리

📝 다항식의 정의

다항식다항식 (Polynomial)
변수 x에 대해 aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ 형태의 식. 가장 높은 차수의 지수가 차수(degree)이란 변수 x에 대한 거듭제곱의 합으로 이루어진 식이야.

n차 다항식의 일반형

f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁x^n-1 + ... + a₁x + a₀ (aₙ ≠ 0)

aₙ: 최고차항의 계수, n: 차수(degree)

내림차순

차수가 높은 항부터 배열

3x³ + 2x² - x + 5

오름차순

차수가 낮은 항부터 배열

5 - x + 2x² + 3x³

⚡ 지수법칙

법칙	식 (a ≠ 0, m, n은 정수)
같은 밑의 곱	a^m x aⁿ = a^m+n
같은 밑의 나눗셈	a^m / aⁿ = a^m-n
거듭제곱의 거듭제곱	(a^m)ⁿ = a^mn
곱의 거듭제곱	(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
0승	a⁰ = 1
음의 지수	a^-n = 1/aⁿ

✖️ 다항식의 곱셈과 나눗셈

곱셈: 분배법칙으로 각 항끼리 곱하고 동류항 정리!

곱셈 예제: (2x + 3)(x² - x + 1)

= 2x³ - 2x² + 2x + 3x² - 3x + 3

= 2x³ + x² - x + 3

다항식의 나눗셈 (유클리드 나눗셈)

A = BQ + R (R의 차수 < B의 차수)

A: 피제식, B: 제식, Q: 몫, R: 나머지

나눗셈 예제: (2x³ + 3x² - 5x + 1)을 (x - 1)로 나누기

조립제법(synthetic division)을 사용하면 더 빠르게 계산할 수 있어!

몫: 2x² + 5x, 나머지: 1

검산: (x-1)(2x²+5x) + 1 = 2x³+5x²-2x²-5x+1 = 2x³+3x²-5x+1 ✓

차수 규칙:

n차 다항식 x m차 다항식 = (n+m)차 다항식

n차 다항식 ÷ m차 다항식 = 몫은 (n-m)차, 나머지는 (m-1)차 이하

🔧 곱셈공식

#	공식
1	(a + b)² = a² + 2ab + b²
2	(a - b)² = a² - 2ab + b²
3	(a + b)(a - b) = a² - b²
4	(x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + ab
5	(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad+bc)x + bd
6	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
7	(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
8	(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
9	a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
10	a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

🔀 곱셈공식의 변형

자주 쓰이는 변형

a² + b² = (a + b)² - 2ab = (a - b)² + 2ab

(a - b)² = (a + b)² - 4ab

a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

예제: a + b = 5, ab = 6일 때 a² + b²의 값은?

a² + b² = (a+b)² - 2ab = 25 - 12 = 13

시험 단골: a + b와 ab가 주어지면 곱셈공식 변형으로 a²+b², a³+b³ 등을 구하는 문제가 자주 나와!

🧩 인수분해 기본공식

인수분해인수분해 (Factoring)
하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것. 곱셈공식의 역과정!는 곱셈공식을 거꾸로 적용하는 거야!

형태	인수분해 결과
ma + mb	m(a + b) -- 공통인수
a² + 2ab + b²	(a + b)²
a² - 2ab + b²	(a - b)²
a² - b²	(a + b)(a - b)
x² + (a+b)x + ab	(x + a)(x + b)
acx² + (ad+bc)x + bd	(ax + b)(cx + d)
a³ + b³	(a + b)(a² - ab + b²)
a³ - b³	(a - b)(a² + ab + b²)

예제 1: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

곱해서 6, 더해서 -5인 두 수: -2, -3

예제 2: 2x² + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)

앞 계수가 1이 아닐 때: 대각선 곱의 합 = 가운데 계수

예제 3: 8x³ - 27 = (2x)³ - 3³ = (2x - 3)(4x² + 6x + 9)

인수분해 순서:

① 공통인수가 있으면 먼저 뽑기!

② 항이 2개면 → 합차, 세제곱 의심

③ 항이 3개면 → 완전제곱식 또는 (x+a)(x+b) 형태 의심

④ 항이 4개 이상이면 → 묶기(그룹화) 시도

🟰 방정식 vs 항등식

방정식 (Equation)

특정 값에서만 성립하는 등식

예: 2x + 1 = 5 → x = 2일 때만 참

항등식 (Identity)

모든 값에서 성립하는 등식

예: (x+1)² = x²+2x+1 → 어떤 x든 참

📌 항등식의 조건

ax² + bx + c = 0이 x에 대한 항등식이 되려면

a = 0, b = 0, c = 0

모든 계수가 0이어야 한다!

항등식의 계수를 구하는 두 가지 방법:

계수비교법

양변의 같은 차수 계수끼리 비교

x²의 계수, x의 계수, 상수항 각각 같다!

수치대입법

특정 값을 대입하여 미지수 결정

계산이 편한 값(0, 1, -1 등)을 대입!

예제 (계수비교법): ax² + bx + c = 2x² - 3x + 5가 항등식일 때

x²의 계수: a = 2

x의 계수: b = -3

상수항: c = 5

예제 (수치대입법): a(x-1)(x-2) + b(x)(x-2) + c(x)(x-1) = x²가 항등식일 때

x = 0 대입: a(−1)(−2) = 0 → 2a = 0 → a = 0

x = 1 대입: b(1)(−1) = 1 → −b = 1 → b = −1

x = 2 대입: c(2)(1) = 4 → 2c = 4 → c = 2

사용 팁: 계수비교법은 정석적이고 확실하지만, 수치대입법이 계산이 훨씬 빠른 경우가 많아! 특히 인수가 0이 되는 값을 대입하면 식이 확 간단해져.

🎯 나머지정리

나머지정리 (Remainder Theorem)

다항식 f(x)를 (x - a)로 나눈 나머지 = f(a)

왜 그럴까?

f(x) = (x - a) x Q(x) + R 이라 하면 (R은 상수)

양변에 x = a를 대입하면: f(a) = 0 x Q(a) + R = R

예제: f(x) = x³ - 2x² + 3x - 1을 (x - 2)로 나눈 나머지

= f(2) = 8 - 8 + 6 - 1 = 5

나눗셈을 직접 안 해도 대입만으로 나머지를 알 수 있어!

확장: f(x)를 (ax - b)로 나눈 나머지 = f(b/a)

예: f(x)를 (2x - 1)로 나눈 나머지 = f(1/2)

🧮 나머지정리 응용: 이차식으로 나눈 나머지

f(x)를 (x-a)(x-b)로 나눈 나머지 (a ≠ b)

나머지 = px + q (일차 이하)

f(a) = pa + q, f(b) = pb + q 를 연립!

예제: f(x)를 (x-1)로 나눈 나머지가 3, (x-2)로 나눈 나머지가 5일 때

(x-1)(x-2)로 나눈 나머지 px + q를 구하면:

f(1) = p + q = 3

f(2) = 2p + q = 5

연립하면: p = 2, q = 1

나머지 = 2x + 1

🔑 인수정리

인수정리 (Factor Theorem)

f(a) = 0 ⇔ f(x)는 (x - a)를 인수로 갖는다

나머지가 0이면 나누어떨어진다!

인수정리는 나머지정리의 특수한 경우야. 나머지가 0이니까!

f(a) = 0 확인
대입해보기

→

(x-a)가 인수
인수정리

→

조립제법으로 몫 구하기
나머지 인수분해

예제: f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 을 인수분해

1단계: f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 → (x - 1)이 인수!

2단계: 조립제법 또는 나눗셈으로

x³ - 6x² + 11x - 6 = (x - 1)(x² - 5x + 6)

3단계: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

결과: f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

인수 후보 찾기: 최고차항의 계수가 1인 다항식에서 정수 근 후보는 상수항의 약수!

위 예제에서 상수항 -6의 약수: ±1, ±2, ±3, ±6 중에서 f(a) = 0인 걸 찾으면 돼.

조립제법 (Synthetic Division): (x - a)로 나눌 때 사용하는 간편한 나눗셈법

계수만 나열해서 빠르게 몫과 나머지를 구할 수 있어! 시험에서 시간 절약의 핵심!

3강 핵심 정리

다항식: 차수 = 최고차항의 지수. 내림차순/오름차순 정렬
지수법칙: a^mx aⁿ = a^m+n, (a^m)ⁿ = a^mn, a⁰ = 1
다항식 나눗셈: A = BQ + R (R의 차수 < B의 차수)
곱셈공식: (a±b)², (a+b)(a-b), (a±b)³, a³±b³ 반드시 암기!
곱셈공식 변형: a²+b² = (a+b)²-2ab 등
인수분해: 공통인수 → 합차/완전제곱 → 이차식 분해 순서로
항등식: 모든 x에서 성립. 계수비교법 또는 수치대입법으로 풀기
나머지정리: f(x) ÷ (x-a)의 나머지 = f(a)
인수정리: f(a) = 0 ↔ (x-a)가 f(x)의 인수
고차다항식 인수분해: 상수항의 약수로 근 후보 → 인수정리 → 조립제법

수열과 수열의 합

📋 수열의 정의

수열수열 (Sequence)
자연수 집합 N에서 실수 집합 R로의 함수. a: N → R. 함수값 a(n) = aₙ을 수열의 제n항(일반항)이라 함이란 자연수의 순서에 따라 나열된 수의 열이야. 수학적으로는 자연수 집합 N에서 실수 집합 R로의 함수로 정의돼.

수열의 정의

a : N → R

수열 {aₙ} : a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …

수열은 그냥 번호가 붙은 수들의 줄서기야.

1번 자리 = a₁, 2번 자리 = a₂, n번 자리 = aₙ

마치 아파트 동처럼 — 101호, 102호, 103호… 순서가 있고, 각 방마다 특정 값이 들어있어!

🔢 수열의 일반항

수열의 일반항일반항 (General Term)
제n항 aₙ을 n의 식으로 나타낸 것. 일반항을 알면 수열의 모든 항을 구할 수 있음 aₙ은 n을 변수로 하는 식으로 표현돼. 일반항을 알면 모든 항을 다 구할 수 있어!

수열	항들	일반항 aₙ
자연수	1, 2, 3, 4, 5, …	aₙ = n
짝수	2, 4, 6, 8, 10, …	bₙ = 2n
홀수	1, 3, 5, 7, 9, …	cₙ = 2n - 1
제곱수	1, 4, 9, 16, 25, …	dₙ = n²

예제: 수열 2, 5, 8, 11, 14, …의 일반항을 구하시오.

항들을 보면 3씩 커지고 있어. n=1일 때 2이므로

aₙ = 3n - 1

검증: a₁ = 3(1)-1 = 2 ✓, a₂ = 3(2)-1 = 5 ✓, a₃ = 3(3)-1 = 8 ✓

일반항 찾는 법: 규칙을 먼저 파악하고, n=1을 대입해서 맞는지 확인해!

항이 일정하게 증가 → 등차수열 (aₙ = a + (n-1)d)

항이 일정 비율로 증가 → 등비수열 (aₙ = ar^(n-1))

♾️ 유한수열과 무한수열

유한수열 (Finite Sequence)

항의 수가 유한한 수열

예: aₙ = n, n = 1, 2, …, 10

→ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

무한수열 (Infinite Sequence)

항의 수가 무한한 수열

예: {n² - 1} : 0, 3, 8, 15, 24, …

예: {-2n+1} : -1, -3, -5, -7, …

예: {1/n(n+1)} : 1/2, 1/6, 1/12, …

표기법 주의: 무한수열은 {aₙ}처럼 중괄호로 표기하고, 유한수열은 마지막 항까지 명시해야 해!

➕ 등차수열 (Arithmetic Progression)

등차수열등차수열 (AP, Arithmetic Progression)
연속된 두 항의 차가 일정한 수열. 그 일정한 차를 공차(common difference) d라 함은 일정한 수(공차 d)를 차례로 더해서 만든 수열이야.

+d→

a+d

+d→

a+2d

+d→

a+3d

→ …

등차수열의 일반항

aₙ = a + (n-1)d

a = 첫째항, d = 공차(common difference)

예제 1: 첫째항 3, 공차 4인 등차수열의 일반항과 제5항

aₙ = 3 + (n-1)·4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1

a₅ = 4(5) - 1 = 19

예제 2: 수열 5, 2, -1, -4, …의 일반항 구하기

공차 d = 2 - 5 = -3 (음수 공차도 가능!)

aₙ = 5 + (n-1)·(-3) = 5 - 3n + 3 = 8 - 3n

a₅ = 8 - 3(5) = -7 ✓

⚖️ 등차중항과 조화수열

세 수 a, b, c가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, b를 등차중항등차중항 (Arithmetic Mean)
등차수열에서 가운데 항. b = (a+c)/2 이므로 a, b, c의 산술평균이 b이라 해.

등차중항 조건

b - a = c - b

∴ b = (a + c) / 2

b는 a와 c의 산술평균(arithmetic mean)!

등차중항 = 두 수의 평균이야.

시험 점수 60점, 80점 사이의 등차중항 = (60+80)/2 = 70점!

딱 중간값이 등차중항이야.

조화수열 (Harmonic Sequence): 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열

조화중항 조건 (b가 a, c의 조화중항)

1/a, 1/b, 1/c 가 등차수열

2/b = 1/a + 1/c

예제: 2, b, 6이 조화수열일 때 b의 값

2/b = 1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3

∴ b = 3

확인: 1/2, 1/3, 1/6 → 차이: 1/3-1/2 = -1/6, 1/6-1/3 = -1/6 ✓ (공차 -1/6인 등차수열)

∑ 등차수열의 합

등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sₙ을 구하는 공식이야. 이건 가우스(Gauss)가 초등학생 때 발견한 아이디어야!

합을 두 가지 방향으로 써:

Sₙ = a + (a+d) + (a+2d) + … + (a+(n-1)d)

Sₙ = (a+(n-1)d) + … + (a+d) + a ← 거꾸로!

두 줄을 더하면 각 열마다 (첫째항 + 끝항)이 돼:

2Sₙ = n × (첫째항 + 끝항) = n × (a + aₙ)

양변을 2로 나누면:

Sₙ = n(a + aₙ) / 2

등차수열의 합 (두 가지 형태)

Sₙ = n(a + aₙ) / 2 = n(첫째항 + 끝항) / 2

Sₙ = n[2a + (n-1)d] / 2

끝항을 모를 때는 두 번째 공식 사용!

예제 1: 1부터 100까지의 합 (가우스 문제)

a = 1, aₙ = 100, n = 100

S₁₀₀ = 100 × (1 + 100) / 2 = 100 × 101 / 2 = 5050

예제 2: 첫째항 3, 공차 2, 항의 수 10인 등차수열의 합

S₁₀ = 10 × [2(3) + (10-1)(2)] / 2 = 10 × [6 + 18] / 2 = 10 × 24 / 2 = 120

공식 선택 기준:

끝항을 알면 → Sₙ = n(a + aₙ)/2 (계산 빠름)

끝항 모르면 → Sₙ = n[2a + (n-1)d]/2 (a, d만 있어도 OK)

두 공식은 aₙ = a + (n-1)d를 대입하면 같은 식이야!

✖️ 등비수열 (Geometric Progression)

등비수열등비수열 (GP, Geometric Progression)
연속된 두 항의 비가 일정한 수열. 그 일정한 비를 공비(common ratio) r이라 함은 일정한 수(공비 r)를 차례로 곱해서 만든 수열이야.

×r→

ar²

×r→

ar³

→ …

등비수열의 일반항

aₙ = ar^n-1

a = 첫째항, r = 공비(common ratio)

예제 1: 첫째항 2, 공비 3인 등비수열의 일반항과 제4항

aₙ = 2 · 3^n-1

a₄ = 2 · 3³ = 2 · 27 = 54

예제 2: 수열 32, 16, 8, 4, 2, …의 일반항

공비 r = 16/32 = 1/2

aₙ = 32 · (1/2)^n-1 = 2⁵ · 2^-(n-1) = 2^6-n

📐 등비중항과 평균의 관계

세 수 a, b, c가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, b를 등비중항등비중항 (Geometric Mean)
등비수열에서 가운데 항. b = ±√(ac). a, b, c의 기하평균이 |b|이라 해.

등비중항 조건

b/a = c/b

b² = ac

∴ b = ±√(ac)

부호가 ± 인 이유: a, c의 부호에 따라 b의 부호가 결정됨!

등차중항 vs 등비중항 비교:

등차중항: b = (a+c)/2 → 더하기 평균 (산술평균)

등비중항: b = ±√(ac) → 곱하기 평균 (기하평균)

산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균 (AM-GM-HM 부등식)

양수 a, b에 대해

(a+b)/2 ≥ √(ab) ≥ 2ab/(a+b)

산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균, 등호는 a = b일 때 성립

예제: a = 4, b = 9일 때

산술평균 = (4+9)/2 = 6.5

기하평균 = √(4·9) = √36 = 6

조화평균 = 2·4·9/(4+9) = 72/13 ≈ 5.54

6.5 ≥ 6 ≥ 5.54 ✓

∑ 등비수열의 합

등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sₙ을 구해보자.

합을 써:

Sₙ = a + ar + ar² + … + ar^(n-1)

양변에 r을 곱해:

rSₙ = ar + ar² + ar³ + … + ar^n

Sₙ - rSₙ 를 계산 (중간 항 다 사라짐!):

Sₙ(1 - r) = a - ar^n = a(1 - r^n)

양변을 (1-r)로 나누면 (r ≠ 1일 때):

Sₙ = a(1 - r^n) / (1 - r)

등비수열의 합

Sₙ = a(1 - rⁿ) / (1 - r) = a(rⁿ - 1) / (r - 1) (r ≠ 1)

Sₙ = an (r = 1)

r = 1이면 모든 항이 a로 같으니까 그냥 na!

예제 1: 첫째항 1, 공비 2인 등비수열의 첫 6항의 합

S₆ = 1 · (2⁶ - 1) / (2 - 1) = (64 - 1) / 1 = 63

확인: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 ✓

예제 2: 첫째항 3, 공비 1/3인 등비수열의 첫 4항의 합

S₄ = 3 · [1 - (1/3)⁴] / [1 - 1/3] = 3 · [1 - 1/81] / (2/3)

= 3 · (80/81) · (3/2) = 3 · 80/54 = 40/9

r = 1 체크 먼저! 공비가 1이면 공식 쓸 필요 없이 Sₙ = na야. 시험에서 r = 1인지 아닌지 확인 안 하면 0 나눗셈 오류 발생!

또한 |r| < 1이면 n→∞일 때 r^n → 0이 되어 무한등비급수 공식 a/(1-r)이 나와 (나중에 배워).

🔗 수열의 합 Sₙ과 일반항 aₙ의 관계

때로는 일반항 대신 합 Sₙ이 먼저 주어지는 경우가 있어. 그럴 때 aₙ을 역으로 구하는 방법이야.

핵심 관계식

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ (n ≥ 2)

a₁ = S₁ (n = 1일 때는 따로!)

Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ₋₁ + aₙ 에서 Sₙ₋₁ = a₁ + … + aₙ₋₁ 을 빼면 aₙ만 남음

Sₙ = "n번째까지의 합계 매출"

Sₙ₋₁ = "(n-1)번째까지의 합계 매출"

aₙ = "n번째 달의 매출" = 이번 달까지 합 - 저번 달까지 합

당연한 원리야! 누적에서 이전 누적을 빼면 이번 것만 남아.

절대 놓치면 안 되는 포인트:

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁은 n ≥ 2일 때만 성립!

반드시 n=1을 따로 대입해서 a₁이 식과 맞는지 확인해야 해. 맞으면 "모든 자연수 n에 대해 성립"이라고 쓸 수 있고, 틀리면 n=1을 따로 써줘야 해.

📝 예제: Sₙ = n² + 4n일 때 aₙ 구하기

n ≥ 2일 때 공식 적용:

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

= (n² + 4n) - [(n-1)² + 4(n-1)]

전개:

= n² + 4n - [n² - 2n + 1 + 4n - 4]

= n² + 4n - n² + 2n - 1 - 4n + 4

= 2n + 3

n = 1 확인: (반드시!)

a₁ = S₁ = 1² + 4(1) = 5

공식에 n=1 대입: 2(1) + 3 = 5 ✓ 일치!

최종 답

aₙ = 2n + 3 (모든 자연수 n에 대해 성립)

검증: S₃ = 9 + 12 = 21, a₁ + a₂ + a₃ = 5 + 7 + 9 = 21 ✓

📝 예제: Sₙ = 3·4ⁿ - 3일 때 aₙ 구하기

n ≥ 2일 때:

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

= (3·4ⁿ - 3) - (3·4^(n-1) - 3)

정리:

= 3·4ⁿ - 3·4^(n-1)

= 3·4^(n-1)·(4 - 1)

= 9·4^(n-1)

n = 1 확인:

a₁ = S₁ = 3·4¹ - 3 = 12 - 3 = 9

공식에 n=1 대입: 9·4⁰ = 9·1 = 9 ✓ 일치!

최종 답

aₙ = 9·4^n-1 (모든 자연수 n에 대해 성립)

이 수열은 첫째항 9, 공비 4인 등비수열이야!

패턴: Sₙ = p·rⁿ + q 형태이면 aₙ은 등비수열이 나오는 경우가 많아!

반면 Sₙ = an² + bn + c 형태이면 aₙ은 등차수열이 나와.

4강 핵심 정리 체크리스트

수열 = 자연수 집합 N에서 실수 집합 R로의 함수. {aₙ}로 표기.
일반항 aₙ을 알면 모든 항을 구할 수 있다.
유한수열 (항의 수 유한) vs 무한수열 (항의 수 무한)
등차수열: 일반항 aₙ = a + (n-1)d, 합 Sₙ = n[2a + (n-1)d]/2
등차중항 b = (a+c)/2 (산술평균), 등차수열 조건: b - a = c - b
조화수열: 역수가 등차수열. 조화중항: 2/b = 1/a + 1/c
등비수열: 일반항 aₙ = ar^(n-1), 합 Sₙ = a(rⁿ-1)/(r-1) (r≠1), Sₙ = an (r=1)
등비중항 b = ±√(ac) (기하평균), 등비수열 조건: b/a = c/b
산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균 (양수에서 성립, 등호는 a=b)
Sₙ → aₙ 역산: aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ (n≥2), a₁ = S₁ (반드시 n=1 따로 확인!)

등차수열 핵심 공식

aₙ = a + (n-1)d

Sₙ = n[2a+(n-1)d]/2

등비수열 핵심 공식

aₙ = ar^(n-1)

Sₙ = a(rⁿ-1)/(r-1)

Sₙ → aₙ 역산

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ (n≥2)

a₁ = S₁ (항상 확인!)

여러 가지 수열의 합

Σ 시그마(Σ) 기호의 정의

시그마시그마 Σ (Sigma)
그리스 문자 대문자 S. "Sum(합)"의 S에서 왔어. 수열의 합을 간결하게 표기하는 도구야.는 수열의 합을 간단하게 쓰기 위한 기호야. k = 1부터 n까지 aₖ를 모두 더한다는 뜻이지.

시그마의 정의

∑_k=1ⁿ aₖ = a₁ + a₂ + ⋯ + aₙ

k를 1부터 n까지 변화시키면서 aₖ를 모두 더한 값

예제: ∑_k=1⁵ k² = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

예제: ∑_k=1⁴ (2k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16

∑ 기호는 일종의 "반복 더하기 명령어"야. 프로그래밍의 for 루프랑 똑같아!

for k from 1 to n: sum += a[k] — 이걸 수학 기호로 쓴 게 Σ이지.

⚙️ Σ의 성질 (4가지)

Σ는 덧셈 기호이기 때문에 덧셈의 성질을 그대로 따라가. 아래 4가지가 핵심이야.

① 분배법칙 (합과 차의 분리)

∑(aₖ ± bₖ) = ∑aₖ ± ∑bₖ

② 상수배 (상수는 Σ 밖으로 꺼낼 수 있어)

∑(c · aₖ) = c · ∑aₖ

③ 상수합 (상수를 n번 더하면 cn)

∑_k=1ⁿ c = cn

④ 종합 (①②③을 한 번에)

∑(paₖ + qbₖ + r) = p∑aₖ + q∑bₖ + rn

상수 r은 n번 더해지므로 rn, p와 q는 Σ 밖으로 꺼냄

주의! ∑(aₖ · bₖ) ≠ ∑aₖ · ∑bₖ — 곱은 분리 안 돼! 이건 시험에서 함정으로 자주 나와.

상수만 꺼낼 수 있고, 다른 변수가 섞인 곱은 그대로 둬야 해.

✏️ Σ 성질 활용 예제

문제: ∑_k=1ⁿ aₖ = 15n, ∑_k=1ⁿ bₖ = 20n 일 때, ∑_k=1ⁿ (3aₖ - 2bₖ + 5)를 구해라.

성질 ④ 적용: Σ를 분리한다.

= 3∑aₖ - 2∑bₖ + ∑5

상수합 성질 적용: ∑5 = 5n

= 3(15n) - 2(20n) + 5n

계산

= 45n - 40n + 5n = 10n

🔢 자연수 거듭제곱의 합 공식

Σ 계산에서 가장 자주 쓰이는 4가지 공식이야. 반드시 외워야 해!

1제곱의 합 (등차수열의 합)

∑_k=1ⁿ k = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂

1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n(n+1)/2

2제곱의 합

∑_k=1ⁿ k² = ^n(n+1)(2n+1)⁄₆

1² + 2² + 3² + ⋯ + n² = n(n+1)(2n+1)/6

3제곱의 합 (1제곱의 합의 제곱!)

∑_k=1ⁿ k³ = [ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂]²

1³ + 2³ + ⋯ + n³ = {n(n+1)/2}²

4제곱의 합 (참고)

∑_k=1ⁿ k⁴ = ^{n(n+1)(2n+1)(3n²+3n−1)}⁄₃₀

외우는 순서: 1제곱 n(n+1)/2 → 2제곱 분자에 (2n+1) 하나 더 붙고 분모 6 → 3제곱 1제곱 공식 전체를 제곱!

3제곱이 1제곱의 제곱이라는 사실은 정말 신기하지? 시험에서 직접 유도할 줄도 알아야 해.

📐 공식 활용 예제

문제: ∑_k=1¹⁰ (k² + 2k + 3)을 계산해라.

Σ 분리

= ∑k² + 2∑k + ∑3

각 공식 대입 (n = 10)

∑k² = 10×11×21/6 = 385

2∑k = 2 × 10×11/2 = 110

∑3 = 3×10 = 30

합산

= 385 + 110 + 30 = 525

🔗 수열의 합 Sₙ과 일반항 aₙ의 관계

처음 n항의 합 Sₙ = ∑_k=1ⁿ aₖ 가 주어지면, 일반항 aₙ을 역으로 구할 수 있어.

수열의 합 → 일반항

aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2)

a₁ = S₁ (n = 1일 때는 따로 확인!)

문제: Sₙ = n² + 3n 일 때 일반항 aₙ을 구해라.

n ≥ 2: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = (n² + 3n) − {(n−1)² + 3(n−1)}

= n² + 3n − (n² − 2n + 1 + 3n − 3) = n² + 3n − n² − n + 2 = 2n + 2

n = 1 확인: a₁ = S₁ = 1 + 3 = 4 = 2(1) + 2 = 4 ✓ → 공식 성립

결론: aₙ = 2n + 2 (모든 자연수 n에 성립)

n = 1 확인은 필수! Sₙ − Sₙ₋₁ 공식은 n ≥ 2에서만 성립해. n = 1을 따로 대입해서 a₁이 공식과 일치하는지 반드시 체크해야 해.

만약 n = 1에서 다른 값이 나오면 aₙ을 n = 1일 때와 n ≥ 2일 때로 나눠서 써야 해.

📉 계차수열이란?

수열 {aₙ}에서 이웃한 두 항의 차로 만들어지는 새로운 수열 {bₙ}을 계차수열계차수열 (Difference Sequence)
bₙ = aₙ₊₁ − aₙ. "계차"는 "차례차례 차이"를 뜻해. 수열의 규칙이 직접 보이지 않을 때, 계차를 보면 패턴이 드러나는 경우가 많아!이라고 해.

계차수열의 정의와 일반항 복원

bₙ = aₙ₊₁ − aₙ

aₙ = a₁ + ∑_k=1ⁿ⁻¹ bₖ (n ≥ 2)

처음 항 a₁에 b₁ + b₂ + ⋯ + bₙ₋₁ 을 더해서 aₙ을 복원!

원수열 {aₙ}

→

bₙ = aₙ₊₁ − aₙ

→

계차수열 {bₙ}

→

a₁ + Σbₖ

→

aₙ 복원

📌 계차수열 예제 1: 계차가 등차수열

수열: 1, 3, 7, 13, 21, 31, ...

계차 확인: 3−1=2, 7−3=4, 13−7=6, 21−13=8, 31−21=10

계차수열 {bₙ}: 2, 4, 6, 8, 10, ... → 등차수열! bₙ = 2n

일반항 복원 공식 적용 (n ≥ 2)

aₙ = a₁ + ∑_k=1ⁿ⁻¹ bₖ = 1 + ∑_k=1ⁿ⁻¹ 2k

∑2k 계산

= 1 + 2 · ⁽ⁿ⁻¹⁾ⁿ⁄₂ = 1 + n(n−1)

정리 + n=1 확인

aₙ = n² − n + 1

a₁ = 1 − 1 + 1 = 1 ✓

📌 계차수열 예제 2: 계차가 등비수열

수열: 3, 4, 6, 10, 18, 34, ...

계차 확인: 4−3=1, 6−4=2, 10−6=4, 18−10=8, 34−18=16

계차수열 {bₙ}: 1, 2, 4, 8, 16, ... → 등비수열! bₙ = 2ⁿ⁻¹

일반항 복원 공식 적용 (n ≥ 2)

aₙ = 3 + ∑_k=1ⁿ⁻¹ 2^k−1

등비수열의 합 공식 적용 (첫항 1, 공비 2, 항수 n−1)

= 3 + ^{1·(2ⁿ⁻¹ − 1)}⁄_{2 − 1} = 3 + 2ⁿ⁻¹ − 1

정리 + n=1 확인

aₙ = 2ⁿ⁻¹ + 2

a₁ = 2⁰ + 2 = 1 + 2 = 3 ✓

계차수열 풀이 순서: ① 계차 직접 계산 → ② 계차의 규칙 파악(등차? 등비?) → ③ 일반항 구하기 → ④ aₙ 복원 → ⑤ n=1 검증

계차가 규칙적이지 않으면? 그 계차의 계차(2차 계차)를 다시 구해봐!

✖️ 수열의 곱 유형 분류

두 수열을 곱한 형태의 합은 유형에 따라 풀이 방법이 달라져.

유형	예시	풀이법
등차 × 등차	∑k(k+1), ∑(2k−1)(k+3)	전개 후 ∑k², ∑k, ∑c 공식 적용
등비 × 등비	∑2^k·3^k = ∑6^k	합쳐서 등비수열로 처리
등차 × 등비	∑k·2^k−1	공비를 곱하고 빼는 방법

⚡ 등차×등비 꼴: 공비를 곱하고 빼는 방법

이 방법은 S에서 rS를 빼서 대부분의 항을 소거하는 아이디어야. 등비수열의 합 공식을 유도할 때와 똑같은 발상이지!

문제: S = ∑_k=1ⁿ k·2^k−1 = 1·1 + 2·2 + 3·4 + ⋯ + n·2ⁿ⁻¹

S를 쓰고, 공비 2를 곱한 2S를 한 칸 밀어서 적기

S = 1·1 + 2·2 + 3·2² + 4·2³ + ⋯ + n·2ⁿ⁻¹

2S = 1·2 + 2·2² + 3·2³ + ⋯ + (n−1)·2ⁿ⁻¹ + n·2ⁿ

S − 2S 계산 (뺄셈하면 대부분 소거됨)

−S = (1 + 2 + 2² + ⋯ + 2ⁿ⁻¹) − n·2ⁿ

−S = ^{2ⁿ − 1}⁄_{2 − 1} − n·2ⁿ = 2ⁿ − 1 − n·2ⁿ

양변에 −1을 곱하면

S = n·2ⁿ − 2ⁿ + 1 = (n−1)·2ⁿ + 1

핵심 순서: ① S 쓰기 → ② 공비 r 곱한 rS를 한 칸 밀어 쓰기 → ③ S − rS 계산 → ④ 등비수열 합 공식 처리 → ⑤ S = ⋯ 정리

뺄셈 후 남는 항이 뭔지 꼼꼼히 따져봐. 첫 항과 마지막 항만 살아남아!

🔄 일반화: S = ∑(2k)·xᵏ⁻¹ 유형

문자 x가 공비인 일반적인 형태도 같은 방법으로 풀어.

문제: S = ∑_k=1ⁿ (2k)·x^k−1 = 2 + 4x + 6x² + ⋯ + 2n·xⁿ⁻¹ (단 x ≠ 1)

S = 2 + 4x + 6x² + ⋯ + 2n·xⁿ⁻¹

xS = 2x + 4x² + ⋯ + 2(n−1)·xⁿ⁻¹ + 2n·xⁿ

S − xS

(1−x)S = 2 + 2x + 2x² + ⋯ + 2xⁿ⁻¹ − 2n·xⁿ

= 2 · ^{1 − xⁿ}⁄_{1 − x} − 2n·xⁿ

(1−x)로 나누기

S = ^{2(1 − xⁿ)}⁄_(1−x)² − ^2n·xⁿ⁄_1−x

등차×등비 꼴은 공식을 외우는 게 아니라 풀이 과정을 이해해야 해. 매번 S를 놓고 rS를 빼는 방법을 직접 유도하는 게 훨씬 안전해!

5강 핵심 정리 — 여러 가지 수열의 합

Σ 정의: ∑_k=1ⁿ aₖ = a₁ + a₂ + ⋯ + aₙ
Σ 분리: ∑(aₖ ± bₖ) = ∑aₖ ± ∑bₖ, ∑(c·aₖ) = c·∑aₖ
상수합: ∑c = cn (상수 c를 n번 더한 것)
Σ 곱 주의: ∑(aₖbₖ) ≠ ∑aₖ · ∑bₖ — 곱은 분리 불가!
1제곱의 합: ∑k = n(n+1)/2
2제곱의 합: ∑k² = n(n+1)(2n+1)/6
3제곱의 합: ∑k³ = [n(n+1)/2]² (1제곱 공식의 제곱!)
합→일반항: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2), a₁ = S₁ — n=1 검증 필수
계차수열: bₙ = aₙ₊₁ − aₙ → aₙ = a₁ + ∑_k=1ⁿ⁻¹ bₖ (n ≥ 2)
등차×등차: 전개 후 Σk², Σk 공식 적용
등차×등비: S 놓고 rS 빼기 → 소거 후 Σ 처리

점화식과 수학적 귀납법

🔍 귀납법 vs 연역법

수학에서 결론을 이끌어내는 방식은 크게 두 가지야. 어떻게 다른지 먼저 파악해보자.

방법	방향	설명	예시
귀납법	구체 → 일반	여러 구체적 사실에서 일반적 결론을 도출	1, 3, 5, 7... 을 보고 "홀수의 합은..." 규칙 발견
연역법	일반 → 구체	일반적 가설에서 구체적 사실을 검증	"모든 자연수에 대해 성립" → 특정 n에 대해 확인

귀납법 = 탐정이 단서를 모아 범인 추리하기: 사실 하나하나 → "범인은 이 사람!"

연역법 = 수학 증명처럼 공리/가정 → 논리적으로 결론 이끌어내기

수학적 귀납법은 이름은 귀납법이지만, 실제로는 연역적 증명이야! 헷갈리지 말자.

🔗 수열의 귀납적 정의

수열을 정의하는 방법은 두 가지야:

일반항 공식

n번째 항을 n의 식으로 직접 표현

a_n = 2n → 2, 4, 6, 8, ...

귀납적 정의 (점화식)

첫 항 + 이웃한 항들의 관계식으로 표현

a₁=2, a_n+1=a_n+2 → 2, 4, 6, 8, ...

귀납적 정의의 두 요소

① 첫 항 a₁ (초기조건)

② 점화식: a_n+1과 a_n의 관계식

두 요소가 모두 있어야 수열이 완전히 정해져!

예제 1 (등차형): a₁ = 2, a_n+1 = a_n + 2

a₂ = a₁ + 2 = 4

a₃ = a₂ + 2 = 6

→ 수열: 2, 4, 6, 8, 10, ...

예제 2 (등비형): b₁ = 1, b_n+1 = 3b_n

b₂ = 3 × 1 = 3

b₃ = 3 × 3 = 9

→ 수열: 1, 3, 9, 27, 81, ...

📐 기본 점화식: 세 가지 수열

수열 종류	점화식	중항 조건
등차수열	a_n+1 - a_n = d (공차)	2a_n+1 = a_n + a_n+2
등비수열	a_n+1 / a_n = r (공비)	(a_n+1)² = a_n · a_n+2
조화수열	1/a_n+1 - 1/a_n = d' (역수의 공차)	2/a_n+1 = 1/a_n + 1/a_n+2

등차중항, 등비중항, 조화중항 외우는 법:

등차: 세 수의 합의 절반이 가운데 항 → 2b = a + c

등비: 세 수의 곱의 제곱근이 가운데 항 → b² = ac

조화: 세 수의 역수가 등차수열 → 2/b = 1/a + 1/c

➕ 차를 활용한 점화식: a_n+1 = a_n + f(n)

이웃한 항의 차(계차)계차 (Difference)
수열 {a_n}에서 b_n = a_n+1 - a_n으로 정의되는 수열 {b_n}을 계차수열이라 해. 이 수열의 합으로 일반항을 구할 수 있어!가 주어진 경우, 누적합으로 일반항을 구해!

계차를 이용한 일반항 공식 (n ≥ 2일 때)

a_n = a₁ + Σ_k=1^n-1 f(k)

단, n=1일 때 별도로 확인! (대부분 성립하지만 확인 필수)

f(n)이 일차식 → 계차가 등차수열

Σk = n(n-1)/2 형태 이용

f(n)이 거듭제곱 → 계차가 등비수열

Σrᵏ = r(rⁿ⁻¹-1)/(r-1) 형태 이용

예제 1 (f(n)이 일차): a₁ = 3, a_n+1 = a_n + 2n

계차수열: f(k) = 2k

a_n = 3 + Σ_k=1^n-1 2k = 3 + 2·(n-1)n/2 (n ≥ 2)

a_n = 3 + n(n-1) = n² - n + 3

n=1 확인: 1 - 1 + 3 = 3 = a₁ ✓

예제 2 (f(n)이 거듭제곱): a₁ = 2, a_n+1 = a_n + 3ⁿ

계차수열: f(k) = 3^k (공비 3인 등비수열)

a_n = 2 + Σ_k=1^n-1 3^k = 2 + 3·(3^n-1-1)/(3-1) (n ≥ 2)

a_n = 2 + (3ⁿ - 3)/2 = (3ⁿ + 1)/2

n=1 확인: (3+1)/2 = 2 = a₁ ✓

✖️ 비를 활용한 점화식: a_n+1 = a_n · f(n)

이웃한 항의 비가 주어진 경우, 누적곱(팩토리얼 형태)으로 일반항을 구해!

비를 이용한 일반항 공식 (n ≥ 2일 때)

a_n = a₁ · Π_k=1^n-1 f(k)

Π는 곱의 기호 (Σ의 곱 버전)

예제 1 (분수형 비): a₁ = 3, a_n+1 = (n/(n+1)) · a_n

a_n = 3 · Π_k=1^n-1 k/(k+1) (n ≥ 2)

= 3 · (1/2) · (2/3) · (3/4) · ... · (n-1)/n

망원급수처럼 중간항이 모두 소거!

a_n = 3 · (1/n) = 3/n

n=1 확인: 3/1 = 3 = a₁ ✓

예제 2 (거듭제곱 비): a₁ = 1, a_n+1 = 2ⁿ · a_n

a_n = 1 · Π_k=1^n-1 2^k = 2^{1+2+3+...+(n-1)} (n ≥ 2)

지수: 1+2+...+(n-1) = n(n-1)/2

a_n = 2^n(n-1)/2

n=1 확인: 2⁰ = 1 = a₁ ✓

풀이 전략 요약:

a_n+1 = a_n + f(n) → 계차 누적합: a_n = a₁ + Σf(k)

a_n+1 = a_n · f(n) → 비 누적곱: a_n = a₁ · Πf(k)

항상 n=1일 때 별도 확인!

🏗️ 수학적 귀납법의 원리

수학적 귀납법수학적 귀납법 (Mathematical Induction)
자연수에 관한 명제를 증명하는 방법. 도미노처럼 첫 번째가 쓰러지고(n=1 성립), 하나가 쓰러지면 다음도 쓰러진다(k→k+1)는 논리로 모든 자연수에 대해 성립을 증명해!은 자연수에 관한 명제 P(n)이 모든 자연수에 대해 성립함을 증명하는 방법이야.

도미노를 생각해봐!

① 첫 번째 도미노가 쓰러진다 (n=1 성립)

② k번째가 쓰러지면 k+1번째도 반드시 쓰러진다 (귀납 단계)

→ 결론: 모든 도미노가 쓰러진다!

수학적 귀납법 3단계

① P(1)이 성립함을 보인다 (기저 단계)

② P(k)가 성립한다고 가정할 때, P(k+1)도 성립함을 보인다 (귀납 단계)

③ 따라서 모든 자연수 n에 대해 P(n)이 성립한다

P(1) 성립
n=1 직접 확인

→

P(k) 가정
귀납 가정

→

P(k+1) 성립
논리적 유도

→

모든 n
성립 결론

💪 강한 수학적 귀납법

일반 귀납법에서 P(k)만 가정하는 게 아니라, P(1), P(2), ..., P(k)를 모두 가정하는 더 강한 형태야.

일반 귀납법

P(k)가 성립 → P(k+1) 성립

바로 이전 항만 이용

강한 귀납법

P(1),...,P(k) 모두 성립 → P(k+1) 성립

이전 항 모두 이용 (점화식 a_n = a_n-1+a_n-2 류에 유용)

강한 귀납법이 필요한 경우: 점화식에서 a_n이 a_n-1과 a_n-2 두 항 모두에 의존할 때 (예: 피보나치 수열 유형). 일반 귀납법으로는 두 이전 항을 모두 가정할 수 없으니까!

🧮 등식 증명: 수학적 귀납법 실전

증명: 모든 자연수 n에 대해 1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6

①

n=1 확인 (기저 단계):

좌변: 1² = 1

우변: 1·2·3/6 = 1 ✓

②

귀납 가정: n=k일 때 성립한다고 가정

1² + 2² + ... + k² = k(k+1)(2k+1)/6

③

n=k+1일 때 성립함을 보인다:

1² + ... + k² + (k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²

= (k+1)[k(2k+1)/6 + (k+1)]

= (k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]/6

= (k+1)(2k² + 7k + 6)/6

= (k+1)(k+2)(2k+3)/6

이것은 n=k+1일 때의 우변 (k+1)(k+2)(2(k+1)+1)/6 과 일치! ✓

④

결론: ①, ②, ③에 의해 모든 자연수 n에 대해 성립한다. □

⚖️ 부등식 증명: 수학적 귀납법 실전

증명: 모든 자연수 n에 대해 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ≥ 2n/(n+1)

①

n=1 확인 (기저 단계):

좌변: 1

우변: 2·1/(1+1) = 1

1 ≥ 1 ✓

②

귀납 가정: n=k일 때 성립한다고 가정

1 + 1/2 + ... + 1/k ≥ 2k/(k+1) ...(★)

③

n=k+1일 때:

좌변 = (1 + 1/2 + ... + 1/k) + 1/(k+1)

≥ 2k/(k+1) + 1/(k+1) (★ 이용)

= (2k+1)/(k+1)

n=k+1의 우변: 2(k+1)/(k+2). 따라서 (2k+1)/(k+1) ≥ 2(k+1)/(k+2) 를 보이면 돼.

(2k+1)(k+2) vs 2(k+1)² 비교:

2k²+5k+2 vs 2k²+4k+2 → 2k²+5k+2 ≥ 2k²+4k+2 ✓ (k ≥ 1이므로)

④

결론: 모든 자연수 n에 대해 성립한다. □

부등식 귀납법의 핵심:

③ 단계에서 "귀납 가정 (★)을 어디에 써서 부등호 방향을 연결하는가"가 핵심이야.

등식처럼 "=" 연결이 아니라 "≥" 또는 ">"로 연결하는 거야. 방향 헷갈리지 말자!

자주 나오는 부등식: 2ⁿ > n, n! > 2ⁿ⁻¹ (n≥1), AM-GM 관련 등

6강 핵심 정리

귀납적 정의: 첫 항 + 점화식으로 수열을 완전히 정의
등차수열 점화식: a_n+1 - a_n = d, 등차중항: 2a_n+1 = a_n + a_n+2
등비수열 점화식: a_n+1/a_n = r, 등비중항: (a_n+1)² = a_n·a_n+2
조화수열 점화식: 역수의 공차 d', 조화중항: 2/a_n+1 = 1/a_n + 1/a_n+2
계차 이용: a_n+1 = a_n + f(n) → a_n = a₁ + Σf(k), n=1 확인 필수
비 이용: a_n+1 = a_n·f(n) → a_n = a₁·Πf(k), n=1 확인 필수
수학적 귀납법 3단계: ① P(1) 성립 → ② P(k) 가정, P(k+1) 유도 → ③ 결론
강한 귀납법: P(1),...,P(k) 모두 가정 → P(k+1) 유도 (a_n = a_n-1+a_n-2 유형)
등식 증명: 귀납 가정 양변에 다음 항 추가 → 정리하면 k+1 형태로 변형
부등식 증명: 귀납 가정 + 추가 항 → 부등호 방향 유지하며 원하는 형태 도달

평면좌표

📍 수직선과 좌표평면

수직선 위의 점은 실수 하나로 나타낼 수 있고, 좌표평면 위의 점은 순서쌍 (x, y)로 나타낼 수 있어.

수직선 (1차원)

점 A → 실수 x_a 하나

두 점 A(a), B(b) 사이의 거리 = |a − b|

좌표평면 (2차원)

점 A → 순서쌍 (x_a, y_a)

두 점 사이의 거리 = 피타고라스 정리 적용

두 점 A(3, 2), B(7, 5)와 그 사이의 거리

📐 두 점 사이의 거리

수직선 위의 두 점 A(a), B(b) 사이의 거리

AB = |a − b|

좌표평면 위의 두 점 A(x_a, y_a), B(x_b, y_b) 사이의 거리

AB = √((x_a − x_b)² + (y_a − y_b)²)

피타고라스 정리를 좌표평면에 적용한 것!

가로 이동량² + 세로 이동량² = 대각선 거리²

직각삼각형의 빗변 = 두 점 사이의 직선거리야. 결국 피타고라스!

예제: A(3, 2), B(7, 5)일 때 AB의 거리

x 차이: 7 − 3 = 4, y 차이: 5 − 2 = 3

AB = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

→ AB = 5

응용 예제: 두 점 A(m², m), B(1, −m) 사이의 거리가 2일 때, m의 값을 구해라.

거리 공식 적용: √((m² − 1)² + (m − (−m))²) = 2

(m² − 1)² + (2m)² = 4

m⁴ − 2m² + 1 + 4m² = 4

m⁴ + 2m² − 3 = 0

(m² + 3)(m² − 1) = 0

m² = −3 (불가) 또는 m² = 1 → m = ±1

시험 팁: 거리 공식에서 양변을 제곱해서 루트를 없애는 게 핵심이야. 제곱하면 = 4처럼 깔끔해져!

m²은 항상 0 이상이라는 조건 잊지 말고, 음수가 나오면 해 없음 처리해!

✂️ 내분점 (Internal Division)

선분 AB 위의 점 P가 AP : PB = m : n으로 나눌 때, P를 선분 AB의 내분점내분점 (Internal Division Point)
선분 AB를 m:n으로 내분하는 점 P. P는 A와 B 사이에 위치함. m:n=1:1이면 중점!이라고 해.

수직선에서 A(a), B(b)를 m:n으로 내분하는 점 P

P = (na + mb) / (m + n)

좌표평면에서 A(x_a, y_a), B(x_b, y_b)를 m:n으로 내분하는 점 P

P = ( (nx_a + mx_b) / (m+n), (ny_a + my_b) / (m+n) )

내분 공식은 헷갈리기 쉬워. m:n에서 B쪽 좌표에 m, A쪽 좌표에 n이 곱해져!

기억법: P가 A에서 m만큼 가면 B에 더 가까우니까, B의 좌표(x_b)에 m이 붙음.

특수 케이스: 중점 M (m:n = 1:1)

M = ( (x_a + x_b) / 2, (y_a + y_b) / 2 )

두 좌표의 평균!

P가 AP:PB = m:n으로 내분 (P는 A와 B 사이에 위치)

예제: A(1, 2), B(7, 8)을 2:1로 내분하는 점 P를 구해라.

m = 2, n = 1 대입

x = (1·1 + 2·7) / (2+1) = (1 + 14) / 3 = 5

y = (1·2 + 2·8) / (2+1) = (2 + 16) / 3 = 6

→ P = (5, 6)

↔️ 외분점 (External Division)

선분 AB의 연장선 위의 점 Q가 QA : QB = m : n (m ≠ n)일 때, Q를 외분점외분점 (External Division Point)
선분 AB를 m:n으로 외분하는 점. A나 B의 바깥에 위치. m=n이면 점이 무한대로 가서 정의 불가!이라고 해.

좌표평면에서 A(x_a, y_a), B(x_b, y_b)를 m:n으로 외분하는 점 Q

Q = ( (−nx_a + mx_b) / (m−n), (−ny_a + my_b) / (m−n) )

내분 공식에서 n → −n으로 바꾼 것! (분모도 m+n → m−n)

Q가 B 바깥에서 QA:QB = m:n으로 외분 (m > n인 경우)

내분점

P는 A와 B 사이에 있어

분모: m + n

외분점

Q는 선분 바깥에 있어

분모: m − n (m ≠ n)

시험 팁: 외분 공식은 내분 공식의 n을 −n으로 바꾼 것! 따로 외울 필요 없이 n에 마이너스만 붙이면 돼.

m = n이면 외분점은 존재하지 않아 (분모가 0이 됨).

🔷 중점 활용: 평행사변형 조건

평행사변형 ABCD에서 두 대각선 AC, BD는 서로 중점이 같아야 해. 이 조건으로 미지수를 구하는 문제가 자주 나와!

평행사변형 ABCD의 조건

AC의 중점 = BD의 중점

즉, ( (x_A+x_C)/2, (y_A+y_C)/2 ) = ( (x_B+x_D)/2, (y_B+y_D)/2 )

예제: A(1, 2), B(3, 5), C(7, 4), D(a, b)가 평행사변형 ABCD를 이룰 때 D의 좌표를 구해라.

AC의 중점: ((1+7)/2, (2+4)/2) = (4, 3)

BD의 중점이 같아야 하므로: ((3+a)/2, (5+b)/2) = (4, 3)

3 + a = 8 → a = 5

5 + b = 6 → b = 1

→ D = (5, 1)

△ 삼각형의 무게중심

삼각형 세 꼭짓점의 좌표를 알면 무게중심무게중심 (Centroid)
세 꼭짓점에서 맞은편 변의 중점으로 그은 중선 3개가 만나는 점. 각 중선을 꼭짓점 쪽에서 2:1로 내분하는 점!을 바로 구할 수 있어.

삼각형 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)의 무게중심 G

G = ( (x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3 )

세 꼭짓점 좌표의 평균!

중점은 2개 좌표의 평균, 무게중심은 3개 좌표의 평균이야.

무게중심 G는 각 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분해! (꼭짓점 쪽이 2)

세 중선이 한 점(무게중심 G)에서 만나고, G는 각 중선을 2:1로 내분해

📏 파푸스의 중선정리

삼각형 ABC에서 BC의 중점을 M이라 하면, 다음이 성립해.

파푸스의 중선정리 (Pappus / Apollonius)

AB² + AC² = 2(AM² + BM²)

M은 BC의 중점. "두 변의 제곱합 = 2×(중선² + 반쪽변²)"

외우는 법: AM은 중선(꼭짓점에서 중점까지), BM은 BC의 절반이야. 공식 자체보다 언제 쓰는지가 중요해!

중선의 길이 AM을 구할 때, 또는 변의 길이를 AM으로 표현할 때 사용해.

예제: 삼각형 ABC에서 AB = 6, AC = 8, BC = 4일 때 중선 AM의 길이를 구해라.

M은 BC의 중점이므로 BM = BC/2 = 2

AB² + AC² = 2(AM² + BM²)

36 + 64 = 2(AM² + 4)

100 = 2·AM² + 8

AM² = 46 → AM = √46

🔀 각의 이등분선 정리

삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC와 만나는 점을 D라 하면:

각의 이등분선 정리

AB : AC = BD : CD

이등분선은 맞은편 변을 두 인접한 변의 비로 나눠!

AB가 길면 D도 B에 더 가까이 있어 (BD가 커짐). 변의 길이 비 = BC를 나누는 비야.

∠A의 이등분선이 BC를 D에서 나눌 때, AB:AC = BD:DC

예제: A(1, 4), B(4, 8), C(9, 10)에서 ∠A의 이등분선이 BC와 만나는 점 D의 좌표를 구해라.

AB와 AC의 길이를 계산

AB = √((4−1)² + (8−4)²) = √(9+16) = √25 = 5

AC = √((9−1)² + (10−4)²) = √(64+36) = √100 = 10

각의 이등분선 정리: BD : DC = AB : AC = 5 : 10 = 1 : 2

D는 BC를 1:2로 내분하는 점

D_x = (2·4 + 1·9) / (1+2) = (8+9)/3 = 17/3

D_y = (2·8 + 1·10) / (1+2) = (16+10)/3 = 26/3

→ D = (17/3, 26/3)

풀이 순서 기억! 이등분선 문제는 항상 이 순서야:

① AB, AC 거리 계산 → ② 비 구하기 → ③ 내분점 공식 적용

거리를 구할 때 루트 값을 그대로 비로 쓰면 돼 (약분 가능하면 약분)!

7강 핵심 정리: 평면좌표

두 점 거리: AB = √((x_a−x_b)² + (y_a−y_b)²) — 피타고라스 정리 활용
내분점 (m:n): x = (nx_a + mx_b) / (m+n) — B쪽 좌표에 m이 붙음
외분점 (m:n): 내분 공식의 n → −n으로 교체 (분모도 m−n)
중점: M = ((x_a+x_b)/2, (y_a+y_b)/2) — 2개 좌표 평균
무게중심: G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3) — 3개 좌표 평균
파푸스 중선정리: AB² + AC² = 2(AM² + BM²), M은 BC의 중점
각의 이등분선: AB:AC = BD:DC → D를 내분점 공식으로 구함
평행사변형 조건: 두 대각선의 중점이 같아야 함

함수

🔗 함수의 정의

집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소를 하나씩 대응시키는 규칙을 함수함수 (Function)
f: X → Y 로 표기. X의 모든 원소가 빠짐없이, 하나의 Y 원소에만 대응되어야 함.(function)라 하고 f: X → Y로 쓴다.

함수 표기

f : X → Y

X의 원소 x에 대응하는 Y의 원소를 f(x)로 표기 (함수값)

정의역 (Domain)

함수의 입력값 집합 X

f의 정의역 = X

공역 (Codomain)

함수의 출력 후보 집합 Y

f의 공역 = Y

치역 (Range)

실제로 대응된 값들의 집합

f(X) = {f(x) | x ∈ X} ⊆ Y

핵심 구분: 치역 ⊆ 공역이야. 공역의 모든 원소가 대응되지 않아도 되지만, 치역은 실제로 대응된 것만!

예: f: {1,2,3} → {a,b,c,d} 이고 f(1)=a, f(2)=b, f(3)=a 이면 치역 = {a,b}, 공역 = {a,b,c,d}

🚫 함수가 아닌 경우

다음 두 경우는 함수가 아니야.

① 대응 안 되는 원소 존재

정의역의 원소 c에 대응하는 값이 없음 → 함수 X

② 한 원소가 여러 값에 대응

원소 a가 1과 2 모두에 대응 → 함수 X

함수 = 자판기. 버튼(정의역 원소)을 누르면 반드시 음료(공역 원소) 하나가 나와야 해.

버튼을 눌렀는데 아무것도 안 나오거나, 두 개가 나오면 고장난 자판기 → 함수 아님!

↔️ 일대일 함수와 일대일 대응

종류	조건	기호
일대일 함수 (단사함수)	x₁ ≠ x₂ 이면 f(x₁) ≠ f(x₂) 서로 다른 정의역 원소 → 서로 다른 함수값	injection
위로의 함수 (전사함수)	치역 = 공역 공역의 모든 원소가 적어도 한 번은 대응됨	surjection
일대일 대응 (전단사함수)	일대일 함수 + 치역 = 공역	bijection

일대일 함수 판별법: f(x₁) = f(x₂) 이면 x₁ = x₂ 임을 보이면 돼.

역함수가 존재하려면 반드시 일대일 대응이어야 해! (8강 Section 3에서 자세히)

🔢 함수의 개수

n(X) = m, n(Y) = n 일 때 함수의 종류별 개수를 정리하면:

함수의 개수 (X → Y)

n^m

Y의 원소 n개 중에서 X의 원소 m개에 각각 하나씩 대응 (중복 허용)

일대일 함수의 개수 (n ≥ m 일 때)

_nP_m = n × (n−1) × ⋯ × (n−m+1)

서로 다른 값에만 대응 → 순열

일대일 대응의 개수 (n = m 일 때만 존재)

치역 = 공역 이어야 하므로 n = m 이어야 함

예제: X = {1, 2, 3}, Y = {a, b, c, d} (m=3, n=4) 일 때

함수의 개수: 4³ = 64가지

일대일 함수의 개수: ₄P₃ = 4×3×2 = 24가지

일대일 대응: n≠m 이므로 존재하지 않음

예제: X = {1, 2, 3}, Y = {a, b, c} (m=3, n=3) 일 때

함수의 개수: 3³ = 27가지

일대일 함수의 개수: ₃P₃ = 3! = 6가지

일대일 대응: 3! = 6가지

📈 순서쌍과 곱집합

두 집합 X, Y에 대해 곱집합곱집합 (Cartesian Product)
X×Y = {(x,y) | x∈X, y∈Y}. 순서쌍의 집합으로, 좌표평면의 모든 점이 ℝ×ℝ의 원소야.은 다음과 같이 정의돼:

곱집합 (데카르트 곱)

X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y}

n(X×Y) = n(X) × n(Y)

예제: X = {1, 2}, Y = {a, b, c} 이면

X × Y = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}

n(X×Y) = 2 × 3 = 6

🖊️ 함수의 그래프

함수 f의 그래프

G(f) = {(x, f(x)) | x ∈ X} ⊆ X × Y

정의역의 각 원소 x와 그에 대응하는 f(x)의 순서쌍 전체

수직선 테스트 (Vertical Line Test)

수직선과 교점 1개 → 함수 O

수직선과 교점 2개 → 함수 X

임의의 수직선 x = k 가 그래프와 1개 이하의 교점을 가져야 함수야.

수직선 테스트 핵심: 하나의 x에 y값이 딱 하나! 수직선을 그었을 때 교점이 2개 이상이면 함수가 아니야.

⚖️ 함수의 상등

두 함수 f, g가 같은 함수가 되려면 다음 두 조건이 모두 성립해야 해:

정의역이 같다

모든 x에서 f(x) = g(x)

⟹

f = g

예제: f(x) = x², 정의역 {1,2,3} 과 g(x) = x², 정의역 {1,2,3,4} 는

정의역이 다르므로 f ≠ g (함수값이 모든 x에서 같더라도 정의역이 달라서!)

✂️ 그래프 활용: f(x) = g(x)의 해

f(x) = g(x)의 해 = 두 함수의 그래프의 교점의 x좌표

교점의 개수 = 방정식의 실수 해의 개수

🔀 합성함수

f: X → Y, g: Y → Z 일 때, 합성함수합성함수 (Composite Function)
(g∘f)(x) = g(f(x)). 먼저 f를 적용하고, 그 결과에 g를 적용함. 순서 주의! g∘f는 다음과 같이 정의돼:

합성함수 정의

(g ∘ f)(x) = g(f(x))

g∘f : X → Z (f 먼저, g 나중)

x ∈ X

→
f

f(x) ∈ Y

→
g

g(f(x)) ∈ Z

예제: f(x) = x − 1, g(x) = x² 일 때

(g∘f)(x) = g(f(x)) = g(x−1) = (x−1)²

(f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = x² − 1

→ (g∘f)(x) ≠ (f∘g)(x) : 순서가 다르면 결과도 달라!

주의: 합성함수는 교환법칙이 성립하지 않아. g∘f ≠ f∘g (일반적으로)

g∘f를 계산할 때는 오른쪽(f)부터 먼저 적용해!

항등함수 I

항등함수 정의

I(x) = x

f ∘ I = I ∘ f = f (어느 함수와 합성해도 자기 자신)

↩️ 역함수

함수 f가 일대일 대응일 때만 역함수역함수 (Inverse Function)
f: X→Y가 일대일 대응일 때, f⁻¹: Y→X가 존재. f⁻¹(y)=x ⟺ f(x)=y f⁻¹이 존재해:

역함수의 성질

f⁻¹ ∘ f = I_X , f ∘ f⁻¹ = I_Y

f⁻¹(f(x)) = x , f(f⁻¹(y)) = y

역함수 존재 조건: f가 일대일 대응(전단사)일 때만 역함수가 존재해!

일대일 함수여도 치역=공역이 아니면 역함수가 공역 전체에 대해 정의되지 않아.

역함수 구하는 방법

y = f(x) 로 놓는다

x에 대해 풀어서 x = (y에 대한 식) 형태로 만든다

x와 y를 서로 교환한다 → f⁻¹(x) = ...

정의역 (= 원래 함수의 치역) 을 확인한다

예제: f(x) = 2x − 1 의 역함수를 구해라

① y = 2x − 1

② x에 대해 풀면: 2x = y + 1 → x = (y+1)/2

③ x와 y 교환: y = (x+1)/2

∴ f⁻¹(x) = (x+1)/2

역함수의 그래프

y = f⁻¹(x)의 그래프는 y = f(x)의 그래프를 y = x에 대해 대칭이동한 것이야.

두 그래프는 y=x 직선을 기준으로 서로 대칭이야.

8강 핵심 정리

함수 f: X→Y = 정의역 X의 각 원소에 공역 Y의 원소를 하나씩 대응
정의역/공역/치역: 치역 ⊆ 공역. 치역은 실제 대응된 값들의 집합
함수가 아닌 경우: ① 대응 없는 원소 존재, ② 한 원소가 여러 값에 대응
일대일 함수: x₁≠x₂ ⟹ f(x₁)≠f(x₂). 일대일 대응 = 일대일 + 치역=공역
함수 개수: n^m / 일대일 함수: ₙPₘ (n≥m) / 일대일 대응: m! (n=m)
곱집합: X×Y = {(x,y) | x∈X, y∈Y}, n(X×Y) = n(X)×n(Y)
수직선 테스트: 수직선과 교점이 항상 1개 이하 ⟺ 함수
함수의 상등: 정의역 같고 + 모든 x에서 f(x)=g(x)
합성함수: (g∘f)(x) = g(f(x)). 교환법칙 성립 안 함 (g∘f ≠ f∘g)
역함수: 일대일 대응일 때만 존재. y=f(x)에서 x 풀고 x,y 교환
역함수 그래프: y=f(x)를 y=x에 대해 대칭이동

★

핵심 요약

1강 — 집합과 명제

집합: 조건에 의해 대상을 분명하게 정할 수 있는 모임. 원소나열법 / 조건제시법으로 표시.
집합 연산: A∪B (합집합, 또는), A∩B (교집합, 그리고), A−B (차집합), A^c (여집합).
드모르간: (A∪B)^c = A^c∩B^c | (A∩B)^c = A^c∪B^c. 보수 씌우면 ∪↔∩ 뒤집힌다.
원소 개수: n(A∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B). 세 집합도 같은 원리로 확장.
부분집합 개수: 원소 n개인 집합의 부분집합 = 2ⁿ개. 공집합은 모든 집합의 부분집합.
명제 p→q: 역(q→p), 이(¬p→¬q), 대우(¬q→¬p). 명제와 대우는 진리값 동일.
충분·필요조건: p→q 이면 p는 q의 충분조건, q는 p의 필요조건. 양방향이면 필요충분조건.

2강 — 실수와 복소수

수 체계: 자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수 ⊂ 실수 ⊂ 복소수. 무리수∪유리수 = 실수.
사칙연산 우선순위: 괄호 → 지수 → 곱나눗셈 → 덧뺄셈. 정수 나눗셈에서 나머지는 항상 0 이상.
절댓값: |a| = a (a≥0), −a (a<0). |a|² = a². |ab| = |a||b|.
약수·배수 / GCD·LCM: GCD×LCM = 두 수의 곱 (a×b). 유클리드 호제법으로 GCD 계산.
복소수 연산: a+bi 형태. 덧셈은 실수·허수 따로, 곱셈은 i² = −1 활용.
켤레복소수: z = a+bi의 켤레 z = a−bi. z+z = 2a (실수), z·z = a²+b² (실수).
복소수 나눗셈: 분모·분자에 켤레복소수 곱해서 분모 실수화.

3강 — 인수분해와 나머지정리

지수법칙: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, a⁰ = 1 (a≠0), a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
주요 곱셈공식: (a±b)² = a²±2ab+b², (a+b)(a−b) = a²−b², (a±b)³ = a³±3a²b+3ab²±b³.
인수분해: 공통인수 묶기 → 완전제곱식 → 합차공식 순으로 시도. x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b).
항등식: 모든 x에 대해 성립. 미정계수법: 양변 계수 비교 또는 특정 값 대입.
나머지정리: f(x)를 (x−a)로 나눈 나머지 = f(a). 직접 나누지 않고 대입만으로 OK.
확장: f(x)를 (ax−b)로 나눈 나머지 = f(b/a). 이차식 나눔: 나머지 = px+q, f(a)·f(b)로 연립.
인수정리: f(a) = 0 ⟺ (x−a)가 f(x)의 인수. 인수 찾을 때 상수항 약수부터 대입 시도.

4강 — 수열과 수열의 합

등차수열: 일반항 aₙ = a + (n−1)d. 합 Sₙ = n[2a+(n−1)d]/2 = n(a+l)/2 (l: 끝항).
등차중항: b = (a+c)/2. 등차수열 조건: b−a = c−b (공차 일정).
등비수열: 일반항 aₙ = ar^(n−1). 합 Sₙ = a(rⁿ−1)/(r−1) (r≠1), Sₙ = an (r=1).
등비중항: b = ±√(ac). 등비수열 조건: b/a = c/b (공비 일정).
조화수열: 역수가 등차수열. 조화중항: 2/b = 1/a + 1/c.
Sₙ → aₙ 역산: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n≥2), a₁ = S₁. 반드시 n=1 따로 확인!
평균 부등식: 산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균 (양수, 등호: a=b).

5강 — 여러 가지 수열의 합

Σ 정의: ∑_k=1ⁿ aₖ = a₁+a₂+⋯+aₙ. 인덱스 변수는 더미(dummy).
Σ 성질: ∑(aₖ±bₖ) = ∑aₖ±∑bₖ, ∑c·aₖ = c·∑aₖ. 단, ∑(aₖbₖ) ≠ ∑aₖ·∑bₖ (곱은 분리 불가!).
Σk 공식: ∑k = n(n+1)/2, ∑k² = n(n+1)(2n+1)/6, ∑k³ = [n(n+1)/2]².
상수합: ∑_k=1ⁿ c = cn.
계차수열: bₙ = aₙ₊₁−aₙ이면 aₙ = a₁+∑_k=1ⁿ⁻¹ bₖ (n≥2). n=1 검증 필수.
등차×등비 꼴: S 놓고 rS 빼기(소거법). 공식 외우기보다 과정 이해가 중요.
합→일반항: aₙ = Sₙ−Sₙ₋₁ (n≥2). Sₙ = pn²+qn+c이면 aₙ은 등차, Sₙ = p·rⁿ+q이면 aₙ은 등비.

6강 — 점화식과 수학적 귀납법

귀납적 정의: 첫 항(초기값) + 점화식(점화 관계)으로 수열을 완전히 정의.
등차형 점화식: aₙ₊₁−aₙ = d → 등차수열. 등차중항: 2aₙ₊₁ = aₙ+aₙ₊₂.
등비형 점화식: aₙ₊₁/aₙ = r → 등비수열. 등비중항: (aₙ₊₁)² = aₙ·aₙ₊₂.
계차 이용: aₙ₊₁ = aₙ+f(n) → aₙ = a₁+∑f(k). n=1 확인 필수.
비 이용: aₙ₊₁ = aₙ·f(n) → aₙ = a₁·∏f(k). n=1 확인 필수.
수학적 귀납법 3단계: ① n=1 성립 확인 → ② n=k 가정 → ③ n=k+1 성립 증명 → 결론.
부등식 귀납법: ③ 단계에서 귀납 가정을 써서 부등호 방향 연결하는 게 핵심. ≥ 또는 > 방향 주의.

7강 — 평면좌표

두 점 거리: AB = √((xₐ−x_b)²+(yₐ−y_b)²). 피타고라스 정리 활용.
내분점 (m:n): x = (m·x_b+n·xₐ)/(m+n). B쪽 좌표에 m이 붙는다는 점 주의!
외분점 (m:n): 내분 공식에서 n → −n으로 교체 (분모도 m−n). m=n이면 외분점 없음.
중점: M = ((xₐ+x_b)/2, (yₐ+y_b)/2). 2개 좌표의 평균.
무게중심: G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3). 세 꼭짓점 좌표 평균.
중선정리: 삼각형 중선을 2:1로 내분하는 점 = 무게중심. 세 중선이 한 점에서 만남.
각이등분선 정리: ∠A의 이등분선이 BC를 D로 나눌 때 BD:DC = AB:AC. 거리 비 → 내분점.

8강 — 함수

함수 정의: f: X→Y. 정의역 X의 각 원소에 공역 Y의 원소를 하나씩 대응. 치역 ⊆ 공역.
함수가 아닌 경우: ① 대응 없는 원소 존재, ② 한 원소가 여러 값에 대응. 수직선 테스트 활용.
일대일 함수: x₁≠x₂ ⟹ f(x₁)≠f(x₂). 서로 다른 입력 → 서로 다른 출력.
일대일 대응(전단사): 일대일 + 치역=공역(전사). 역함수가 존재하는 조건.
함수 개수: X→Y 일반 함수: n(Y)^n(X), 일대일 함수: ₙ(Y)Pₙ(X), 일대일 대응(n=m): m!
합성함수: (g∘f)(x) = g(f(x)). 교환법칙 불성립 (g∘f ≠ f∘g). 결합법칙은 성립.
역함수: 일대일 대응일 때만 존재. y=f(x)에서 x 풀고 x,y 교환 → f⁻¹(x). 그래프는 y=x 대칭.

∑

공식 정리

① 집합 공식

합집합의 원소 개수

n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)

세 집합: n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) − n(A∩B) − n(B∩C) − n(A∩C) + n(A∩B∩C)

부분집합 개수

원소 n개인 집합의 부분집합 = 2ⁿ개

진부분집합 = 2ⁿ − 1개 (자기 자신 제외)

드모르간 법칙

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

보수 씌우면 ∪ ↔ ∩ 뒤집힌다!

② 수열 공식

구분	일반항 aₙ	합 Sₙ
등차수열 (공차 d)	a + (n−1)d	n[2a+(n−1)d]/2 = n(a+l)/2
등비수열 (공비 r)	ar^(n−1)	a(rⁿ−1)/(r−1) (r≠1) an (r=1)

Sₙ → aₙ 역산 (반드시 n=1 따로 검증!)

aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2)

a₁ = S₁

패턴 암기: Sₙ = an²+bn+c → aₙ 등차 | Sₙ = p·rⁿ+q → aₙ 등비

③ Σ 공식

Σ 기본 공식 (k=1부터 n까지)

∑k = n(n+1)/2

∑k² = n(n+1)(2n+1)/6

∑k³ = [n(n+1)/2]² ← (∑k)² 와 같다!

∑c = cn (c는 상수)

Σ 성질

∑(aₖ ± bₖ) = ∑aₖ ± ∑bₖ

∑(c·aₖ) = c·∑aₖ

∑(aₖ·bₖ) ≠ ∑aₖ · ∑bₖ ← 곱은 분리 불가!

계차수열

bₙ = aₙ₊₁ − aₙ 이면: aₙ = a₁ + ∑_k=1ⁿ⁻¹ bₖ (n ≥ 2)

④ 평면좌표 공식

두 점 A(xₐ, yₐ), B(x_b, y_b) 사이의 거리

AB = √( (xₐ−x_b)² + (yₐ−y_b)² )

구분	x 좌표	y 좌표
내분점 (m:n)	(m·x_b + n·xₐ) / (m+n)	(m·y_b + n·yₐ) / (m+n)
외분점 (m:n)	(m·x_b − n·xₐ) / (m−n)	(m·y_b − n·yₐ) / (m−n)
중점	(xₐ + x_b) / 2	(yₐ + y_b) / 2
무게중심	(x₁+x₂+x₃) / 3	(y₁+y₂+y₃) / 3

내분점 기억법: m:n으로 내분할 때 B쪽 좌표에 m이 붙어! (반대편 비율이 해당 점 좌표에 곱해짐)

각이등분선: BD:DC = AB:AC → 비 구한 뒤 내분점 공식 적용

⑤ 함수 개수 공식

함수 종류	조건	개수
일반 함수	X→Y (\|X\|=m, \|Y\|=n)	n^m
일대일 함수	n ≥ m 조건 필요	_nP_m = n!/(n−m)!
일대일 대응	n = m (정의역=공역 크기)	m! (= n!)

합성함수 / 역함수

(g∘f)(x) = g(f(x)) ← 안에서 밖으로

역함수: y=f(x) → x 풀기 → x,y 교환 → f⁻¹(x)

역함수 존재 조건: 일대일 대응 (전단사) | 그래프: y=x 대칭

합성 순서 주의: g∘f 는 f 먼저, g 나중. g∘f ≠ f∘g (교환법칙 불성립).

역함수 합성: (f⁻¹∘f)(x) = x, (f∘f⁻¹)(x) = x

⑥ 수학적 귀납법 3단계

모든 자연수 n에 대해 명제 P(n) 증명하기

① n=1일 때 P(1) 성립 확인

② n=k일 때 P(k) 성립 가정 (귀납 가정)

③ n=k+1일 때 P(k+1) 성립 증명

→ 모든 자연수 n에 대해 성립 (□)

부등식 귀납법: ③에서 귀납 가정(★)을 써서 부등호 방향을 연결하는 게 핵심. 등식과 달리 ≥ 또는 > 로 연결.

자주 나오는 형태: 2ⁿ > n, n! > 2ⁿ⁻¹, 등차/등비 합 공식 증명

1강 - 집합과 명제

객관식 10문항 | 하 3 · 중 5 · 상 2

객관식

다음 중 집합이 아닌 것은?

10보다 작은 자연수의 모임
짝수인 자연수의 모임
키가 큰 사람들의 모임
소수(prime)인 자연수의 모임

집합이 되려면 대상을 분명하게 정할 수 있어야 해. 어떤 기준이 사람마다 다르게 해석될 수 있다면?

해설

집합은 "어떤 조건에 의해 그 대상을 분명하게 정할 수 있는 모임"이야. "키가 큰 사람들의 모임"은 "큰"의 기준이 모호하여 사람마다 다르게 해석되므로 집합이 아니야. 나머지 보기들은 원소를 명확하게 결정할 수 있어.

객관식

원소가 4개인 집합의 부분집합의 개수는?

각 원소마다 "넣는다 / 안 넣는다" 2가지 선택이 있어. 원소가 n개면 부분집합은 몇 개일까?

해설

원소가 n개인 집합의 부분집합 개수는 2ⁿ개야. 각 원소마다 "넣는다 / 안 넣는다" 2가지 선택이 있으므로 2×2×…×2 = 2ⁿ이 돼. n = 4이면 2⁴ = 16개. 참고로 진부분집합은 2ⁿ − 1 = 15개야 (자기 자신 제외).

객관식

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}일 때, A ∩ B는?

{1, 2, 3, 4, 5, 6}
{3, 4}
{1, 2}
{5, 6}

교집합(∩)은 A 그리고 B 둘 다에 속하는 원소야.

해설

교집합 A ∩ B는 "A 그리고 B 둘 다에 속하는 원소" 전체야. A = {1,2,3,4}와 B = {3,4,5,6}에서 공통 원소는 3과 4이므로 A ∩ B = {3, 4}. 참고로 A ∪ B = {1,2,3,4,5,6}, A − B = {1,2}, B − A = {5,6}이야.

객관식

드모르간 법칙에 의해 (A ∪ B)^c와 같은 것은?

A^c ∪ B^c
A^c ∩ B^c
A ∩ B^c
(A ∩ B)^c

드모르간 법칙: 보수(여집합)를 씌우면 ∪ ↔ ∩ 이 뒤집혀!

해설

드모르간 법칙: (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c. "합의 여집합 = 여집합의 교"야. 이걸 말로 풀면 "A도 B도 아닌 것" = "A가 아닌 것" 그리고 "B가 아닌 것"이 돼. 외우는 법: 보수 씌우면 ∪ ↔ ∩ 뒤집힌다!

객관식

학생 40명 중 수학을 좋아하는 학생이 25명, 영어를 좋아하는 학생이 20명, 둘 다 좋아하는 학생이 10명일 때, 수학도 영어도 좋아하지 않는 학생은 몇 명인가?

5명
10명
15명
35명

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)를 먼저 구한 뒤, 전체에서 빼봐!

해설

n(수학 ∪ 영어) = n(수학) + n(영어) − n(수학 ∩ 영어) = 25 + 20 − 10 = 35명. 수학 또는 영어를 좋아하는 학생이 35명이므로, 둘 다 싫어하는 학생 = 40 − 35 = 5명. "둘 다 아닌"은 합집합의 여집합이야.

객관식

명제 p → q가 거짓이 되는 경우는?

p가 거짓이고 q가 참인 경우
p가 참이고 q가 거짓인 경우
p가 거짓이고 q가 거짓인 경우
p가 참이고 q가 참인 경우

조건명제 p → q가 거짓인 경우는 딱 하나뿐이야. 가정(p)이 참인데 결론(q)이…

해설

조건명제 p → q가 거짓인 경우는 딱 하나! "가정(p)은 참인데 결론(q)이 거짓"일 때만이야. 나머지 세 경우(T→T, F→T, F→F)는 모두 참이야. p가 거짓이면 q와 상관없이 명제가 참(공허하게 참)이 돼.

객관식

명제 "x = 2이면 x² = 4이다"의 대우는?

x² = 4이면 x = 2이다
x ≠ 2이면 x² ≠ 4이다
x² ≠ 4이면 x = 2이다
x² ≠ 4이면 x ≠ 2이다

p → q의 대우는 ¬q → ¬p야. 가정과 결론을 모두 부정한 뒤 순서를 바꿔봐!

해설

p: "x = 2", q: "x² = 4"라 하면, 대우는 ¬q → ¬p = "x² ≠ 4이면 x ≠ 2이다"야. 대우는 원래 명제와 항상 진리값이 같아. 역(q→p)과 이(¬p→¬q)는 진리값이 다를 수 있고, 역과 이는 서로 대우 관계이므로 진리값이 서로 같아.

객관식

p: "x = 1", q: "x² = 1"일 때, 진리집합 P = {1}, Q = {−1, 1}이다. p와 q의 관계로 옳은 것은?

p는 q의 충분조건이지만 필요조건이 아니다
p는 q의 필요조건이지만 충분조건이 아니다
p는 q의 필요충분조건이다
p는 q의 충분조건도 필요조건도 아니다

P ⊆ Q이면 p → q 참(p가 충분조건), Q ⊆ P이면 q → p 참(p가 필요조건). P와 Q를 비교해봐!

해설

P = {1} ⊆ Q = {−1, 1}이므로 p → q는 참 → p는 q의 충분조건. 하지만 Q ⊄ P이므로 q → p는 거짓 → p는 q의 필요조건은 아니야. 따라서 p는 q의 충분조건이지만 필요조건은 아니야. 진리집합으로 판단: P⊆Q면 충분, Q⊆P면 필요, P=Q면 필요충분!

객관식

전체집합 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}에서 A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5}일 때, (A ∪ B)^c의 원소의 개수는?

A ∪ B를 먼저 구한 뒤, 전체집합 U에서 A ∪ B를 빼면 여집합이 돼. 또는 드모르간 법칙으로 A^c ∩ B^c를 구해도 같아!

해설

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}으로 원소가 8개야. (A ∪ B)^c = U − (A ∪ B) = {7, 9}. 따라서 원소의 개수는 2개야. 드모르간 법칙으로 확인: A^c = {1,3,5,7,9}, B^c = {6,7,8,9,10}이므로 A^c ∩ B^c = {7, 9} 역시 2개로 동일!

객관식

집합 A = {a, b, c, d}에서 원소 a, b를 반드시 포함하는 부분집합의 개수는?

a, b는 반드시 포함되므로 고정. 나머지 원소들에 대해서만 넣고 안 넣고를 선택하면 돼. 나머지 원소가 몇 개야?

해설

원소 k개를 반드시 포함하는 부분집합 개수 = 2^n-k야. a, b (2개)를 반드시 포함해야 하므로, 나머지 c, d (2개)만 자유롭게 선택. 2^4-2 = 2² = 4개야. 구체적으로 나열하면: {a,b}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,c,d}의 4가지!

2강 - 실수와 복소수

객관식 10문항 | 하 3 · 중 5 · 상 2

객관식

수 체계의 포함 관계로 올바른 것은?

유리수 ⊂ 정수 ⊂ 자연수 ⊂ 실수
자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수 ⊂ 실수
정수 ⊂ 자연수 ⊂ 유리수 ⊂ 실수
자연수 ⊂ 유리수 ⊂ 정수 ⊂ 실수

수의 세계는 자연수 → 정수 → 유리수 → 실수 순으로 확장되어 왔어. 자연수는 가장 작은 집합이야.

해설

수 체계는 N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R이야. 자연수(N) ⊂ 정수(Z) ⊂ 유리수(Q) ⊂ 실수(R). 자연수에서 뺄셈이 닫혀있지 않아 정수가 생기고, 정수에서 나눗셈이 닫혀있지 않아 유리수가 생기고, 이렇게 수 체계가 확장된 거야. 실수 = 유리수 + 무리수!

객관식

절댓값의 성질 중 옳지 않은 것은?

|a| ≥ 0 (등호는 a = 0일 때)
|ab| = |a| × |b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a + b| = |a| + |b|

삼각부등식을 기억해. 등호(=)가 항상 성립하지는 않아 — 등호가 성립하는 특별한 조건이 있어!

해설

삼각부등식은 |a + b| ≤ |a| + |b|야. 등호는 a와 b가 같은 부호이거나 하나가 0일 때 성립해. 예: a = 1, b = −2이면 |a + b| = |−1| = 1, |a| + |b| = 3이므로 1 ≤ 3이지 등호가 아니야. D처럼 항상 등호라고 쓰면 틀려!

객관식

복소수 z = a + bi에서 켤레복소수 z의 정의로 올바른 것은?

z = a − bi
z = −a + bi
z = −a − bi
z = a + bi

켤레복소수는 허수부의 부호만 반대로 바꾸는 거야. 실수부는 그대로!

해설

z = a + bi의 켤레복소수는 z = a − bi야. 허수부(b)의 부호만 반대로 바꾸고 실수부(a)는 그대로야. 켤레복소수 성질: z + z = 2a (실수), z × z = a² + b² (항상 ≥ 0인 실수). 복소수 나눗셈에서 분모를 실수로 만들 때 켤레복소수를 곱해!

객관식

부등식의 성질 중 옳은 것은?

a > b이고 c < 0이면 ac > bc
a > b이면 a² > b²
a > b, b > c이면 a > c
a > b이면 1/a > 1/b

음수를 곱하면 부등호 방향이 반전돼! 그리고 부등식의 추이성을 기억해봐.

해설

C가 정답: a > b, b > c이면 a > c (추이성). A는 틀려: c < 0이면 부등호 방향이 반전되어 ac < bc가 돼. B는 틀려: 예) a = −3, b = 2이면 a² = 9 > b² = 4이지만 a < b야. D는 틀려: a, b의 부호에 따라 달라져. 음수를 곱하면 부등호 방향이 반대로 바뀐다는 게 시험 단골이야!

객관식

GCD(72, 90)과 LCM(72, 90)의 값으로 올바른 것은? (72 = 2³ × 3², 90 = 2 × 3² × 5)

GCD = 9, LCM = 720
GCD = 18, LCM = 360
GCD = 6, LCM = 360
GCD = 18, LCM = 720

GCD는 공통 소인수의 작은 지수, LCM은 모든 소인수의 큰 지수를 사용해. 그리고 GCD × LCM = a × b로 검산해!

해설

72 = 2³ × 3², 90 = 2¹ × 3² × 5¹. GCD = 공통 소인수의 작은 지수 = 2¹ × 3² = 2 × 9 = 18. LCM = 모든 소인수의 큰 지수 = 2³ × 3² × 5¹ = 8 × 9 × 5 = 360. 검산: GCD × LCM = 18 × 360 = 6480 = 72 × 90 = 6480 ✓

객관식

(2 + 3i)(4 − i)를 계산한 결과는? (단, i² = −1)

8 + 10i
5 + 14i
11 + 10i
11 − 10i

분배법칙으로 전개하고 i² = −1을 대입해. (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

해설

(2 + 3i)(4 − i) = 8 − 2i + 12i − 3i² = 8 + 10i − 3(−1) = 8 + 10i + 3 = 11 + 10i. 핵심은 i² = −1 대입! (ac − bd) + (ad + bc)i = (2×4 − 3×(−1)) + (2×(−1) + 3×4)i = (8 + 3) + (−2 + 12)i = 11 + 10i.

객관식

i²⁰²⁵의 값은? (단, i는 허수단위)

1
i
−1
−i

iⁿ의 값은 n을 4로 나눈 나머지로 결정돼. 나머지 0→1, 1→i, 2→−1, 3→−i. 2025 ÷ 4의 나머지는?

해설

i의 거듭제곱은 주기 4로 반복: i¹=i, i²=−1, i³=−i, i⁴=1. iⁿ은 n을 4로 나눈 나머지로 결정! 2025 ÷ 4 = 506 나머지 1. 나머지 1이므로 i²⁰²⁵ = i. 시험 꿀팁: i + i² + i³ + i⁴ = 0이므로 연속 4개씩 묶으면 항상 0!

객관식

360 = 2³ × 3² × 5일 때, 360의 약수의 개수는?

12개
18개
20개
24개

N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … 일 때 약수의 개수 = (a₁+1)(a₂+1)…. 각 지수에 1씩 더한 뒤 곱해봐!

해설

360 = 2³ × 3² × 5¹. 약수의 개수 = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24개. 공식: N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ 일 때 약수의 개수 = (a₁+1)(a₂+1)…(aₖ+1). 각 소인수의 지수에 1을 더한 값들을 모두 곱하면 돼!

객관식

복소수 (2x + 1) + (y − 3)i = 5 + 2i 를 만족하는 실수 x, y의 합 x + y는?

두 복소수가 같으려면 실수부끼리 같고 허수부끼리 같아야 해: a + bi = c + di ⇔ a = c 이고 b = d.

해설

복소수의 상등 조건: 실수부끼리 같고 허수부끼리 같아야 해. 실수부: 2x + 1 = 5 → 2x = 4 → x = 2. 허수부: y − 3 = 2 → y = 5. 따라서 x + y = 2 + 5 = 7.

객관식

정수 집합 Z는 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해 닫혀있다. 그런데 Z가 나눗셈에 대해 닫혀있지 않음을 보이는 반례로 가장 적절한 것은?

1 ÷ 3 = 1/3 은 정수가 아니다
3 − 5 = −2 는 정수가 아니다
2 × 3 = 6 은 정수다
−2 + 5 = 3 은 정수다

"닫혀있다"는 연산 결과가 항상 같은 집합 안에 있다는 뜻이야. 나눗셈을 했을 때 결과가 정수가 아닌 경우가 있으면 닫혀있지 않아!

해설

"닫혀있다"는 연산 결과가 항상 같은 집합 안에 있음을 의미해. 정수 1과 3은 모두 정수지만, 1 ÷ 3 = 1/3은 정수가 아니야! 이것이 정수가 나눗셈에 대해 닫혀있지 않음을 보이는 반례야. B는 뺄셈에 대해 닫혀있음(결과가 정수)을, C와 D는 곱셈·덧셈에 대해 닫혀있음을 보여줘.

3강 - 인수분해와 나머지정리

객관식 10문항 | 하 3 · 중 5 · 상 2

객관식

다항식 3x³ + 2x² - x + 5를 내림차순으로 정렬했을 때 최고차항의 계수는?

5
3
2
-1

내림차순은 차수가 높은 항부터 낮은 순으로 배열하는 방식이야. 최고차항은 x의 지수가 가장 큰 항이고, 그 앞의 수가 최고차항의 계수야.

해설

내림차순으로 정렬하면 3x³ + 2x² - x + 5야. 가장 높은 차수는 3차(x³)이고, 그 계수는 3이야. 차수(degree)는 3이고, 최고차항의 계수(leading coefficient)는 3이다.

객관식

지수법칙에 의해 a⁰의 값은? (단, a ≠ 0)

지수법칙 중 0승 규칙을 떠올려봐. aᵐ ÷ aᵐ = aᵐ⁻ᵐ = a⁰인데, 같은 수를 나누면 반드시 1이 돼!

해설

지수법칙에서 a⁰ = 1 (a ≠ 0). 이를 유도하면: aᵐ ÷ aᵐ = aᵐ⁻ᵐ = a⁰이고, 같은 수끼리 나누면 1이므로 a⁰ = 1이야. 0⁰은 정의되지 않는 점도 기억해!

객관식

다항식의 나눗셈 A = BQ + R에서 R(나머지)의 차수에 대한 조건으로 옳은 것은?

R의 차수 < B의 차수
R의 차수 < A의 차수
R의 차수 = B의 차수
R의 차수 > B의 차수

유클리드 나눗셈 공식 A = BQ + R을 기억해봐. 나머지는 나누는 수(제식)보다 작아야 나눗셈이 완전히 끝난 거야!

해설

다항식의 나눗셈 A = BQ + R에서 나머지 R의 차수는 반드시 제식 B의 차수보다 작아야 해. 예를 들어 2차식으로 나누면 나머지는 1차 이하야. 나머지가 제식보다 크거나 같으면 아직 나눗셈이 덜 된 거야.

객관식

곱셈공식 (a + b)³을 전개하면?

a³ + b³
a³ + 3a²b + 3ab² + b³
a³ + 2a²b + 2ab² + b³
a³ - 3a²b + 3ab² - b³

(a + b)³ = (a + b)(a + b)² 로 전개하거나 이항정리의 계수 1, 3, 3, 1을 떠올려봐. 부호는 모두 양수야.

해설

곱셈공식 (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. 계수는 파스칼 삼각형의 1, 3, 3, 1이야. 주의: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³으로 부호가 번갈아 바뀌므로 혼동하지 않도록!

객관식

a + b = 5, ab = 6일 때, a² + b²의 값은?

곱셈공식 변형: a² + b² = (a + b)² - 2ab를 사용해봐. a + b와 ab가 주어졌으니 바로 대입할 수 있어!

해설

곱셈공식 변형 a² + b² = (a + b)² - 2ab를 사용해:
a² + b² = (5)² - 2(6) = 25 - 12 = 13
이 변형 공식은 시험에서 정말 자주 나와. a + b와 ab가 주어지면 a² + b², a³ + b³ 등을 곱셈공식 변형으로 구할 수 있어!

객관식

다항식 x² - 5x + 6을 인수분해하면?

(x - 1)(x - 6)
(x + 2)(x + 3)
(x - 2)(x - 3)
(x - 1)(x + 6)

x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b) 공식을 사용해. 곱해서 6, 더해서 -5가 되는 두 수를 찾아봐!

해설

x² - 5x + 6에서 곱해서 6, 더해서 -5인 두 수: -2와 -3.
(-2) × (-3) = 6 ✓, (-2) + (-3) = -5 ✓
따라서 x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). 강의에서 직접 나온 예제야!

객관식

항등식 ax² + bx + c = 2x² - 3x + 5가 모든 x에 대해 성립할 때, a + b + c의 값은?

4
0
10
-1

항등식이므로 계수비교법을 써봐. 양변에서 같은 차수의 계수끼리 같아야 해. x²의 계수, x의 계수, 상수항 각각 비교!

해설

계수비교법으로:
x²의 계수: a = 2
x의 계수: b = -3
상수항: c = 5
따라서 a + b + c = 2 + (-3) + 5 = 4

객관식

f(x) = x³ - 2x² + 3x - 1을 (x - 2)로 나눈 나머지는?

나머지정리: f(x)를 (x - a)로 나눈 나머지는 f(a)야. 직접 나눗셈을 안 해도 x = 2를 대입하면 바로 나머지를 구할 수 있어!

해설

나머지정리에 의해 f(x)를 (x - 2)로 나눈 나머지 = f(2):
f(2) = 2³ - 2(2²) + 3(2) - 1 = 8 - 8 + 6 - 1 = 5
강의에서 직접 나온 예제야. 나눗셈을 실제로 계산하지 않아도 대입 하나로 나머지를 구할 수 있는 게 나머지정리의 핵심!

객관식

f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6을 완전히 인수분해한 것은? (단, 인수정리와 조립제법을 활용)

(x - 1)(x - 2)(x + 3)
(x + 1)(x - 2)(x - 3)
(x - 1)(x + 2)(x - 3)
(x - 1)(x - 2)(x - 3)

인수 후보는 상수항 -6의 약수: ±1, ±2, ±3, ±6. f(a) = 0이 되는 값을 찾으면 (x - a)가 인수야. f(1)부터 계산해봐!

해설

인수 후보: 상수항 -6의 약수 ±1, ±2, ±3, ±6
f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 → (x - 1)이 인수!
조립제법으로: x³ - 6x² + 11x - 6 = (x - 1)(x² - 5x + 6)
x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) (곱해서 6, 더해서 -5)
따라서 f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3). 강의에서 직접 나온 예제야!

객관식

f(x)를 (x - 1)로 나눈 나머지가 3이고, (x - 2)로 나눈 나머지가 5일 때, f(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나눈 나머지를 px + q라 하면 p + q의 값은?

이차식으로 나눈 나머지는 일차 이하인 px + q야. 나머지정리에 의해 f(1) = p + q = 3, f(2) = 2p + q = 5. 이 두 식을 연립하면 돼!

해설

(x - 1)(x - 2)로 나눈 나머지 = px + q (1차 이하)
나머지정리로 연립방정식 세우기:
f(1) = p + q = 3 ... ①
f(2) = 2p + q = 5 ... ②
② - ①: p = 2
①에 대입: q = 1
나머지 = 2x + 1, 따라서 p + q = 2 + 1 = 3

4강 - 수열과 수열의 합

객관식 10문항 | 하 3 · 중 5 · 상 2

객관식

수열 2, 5, 8, 11, 14, …의 일반항 aₙ은?

aₙ = 2n + 1
aₙ = 3n - 1
aₙ = 3n + 1
aₙ = 2n - 1

3씩 커지는 수열이야. 공차 d = 3이고 첫째항 a = 2야. 등차수열 일반항 aₙ = a + (n-1)d를 적용해봐. n = 1을 대입해서 검증도 해봐!

해설

항들이 3씩 증가하므로 공차 d = 3, 첫째항 a = 2인 등차수열이야.
aₙ = a + (n-1)d = 2 + (n-1)·3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1
검증: a₁ = 3(1)-1 = 2 ✓, a₂ = 3(2)-1 = 5 ✓, a₃ = 3(3)-1 = 8 ✓
강의에서 직접 나온 예제야!

객관식

수열에서 자연수 1부터 100까지의 합 S₁₀₀의 값은? (가우스 공식 활용)

4950
10100
5050
5100

등차수열의 합 공식 Sₙ = n(첫째항 + 끝항)/2를 사용해. a = 1, aₙ = 100, n = 100이야. 가우스가 초등학생 때 발견한 방법이야!

해설

1부터 100까지는 첫째항 a = 1, 끝항 a₁₀₀ = 100, 항의 수 n = 100인 등차수열이야.
S₁₀₀ = 100 × (1 + 100) / 2 = 100 × 101 / 2 = 5050
가우스가 초등학생 때 발견한 아이디어로, 강의에서 직접 나온 예제야!

객관식

첫째항 2, 공비 3인 등비수열의 제4항 a₄는?

등비수열의 일반항 aₙ = ar^(n-1)을 사용해. 첫째항 a = 2, 공비 r = 3, n = 4를 대입해봐!

해설

등비수열 일반항 aₙ = ar^(n-1)에서 a = 2, r = 3, n = 4:
a₄ = 2 · 3^(4-1) = 2 · 3³ = 2 · 27 = 54
강의에서 직접 나온 예제야!

객관식

세 수 a, b, c가 등차수열을 이룰 때, 등차중항 b와 a, c의 관계로 옳은 것은?

b = (a + c) / 2
b = √(ac)
b = 2ac / (a + c)
b = ac / 2

등차수열 조건은 b - a = c - b야. 이걸 정리하면 b에 대한 식을 구할 수 있어. 등차중항은 산술평균이야!

해설

a, b, c가 등차수열을 이루면 공차가 일정하므로 b - a = c - b
2b = a + c
따라서 b = (a + c) / 2 (산술평균!)
참고: √(ac)는 기하평균(등비중항), 2ac/(a+c)는 조화평균으로 각각 다른 개념이야!

객관식

수열 5, 2, -1, -4, …의 일반항 aₙ은?

aₙ = 5 - 2n
aₙ = 8 - 3n
aₙ = 3n + 2
aₙ = -3n + 8

공차를 먼저 구해봐. d = 2 - 5 = -3이야. 음수 공차도 가능해! 그리고 aₙ = a + (n-1)d에 첫째항 5와 공차 -3을 대입해봐.

해설

공차 d = 2 - 5 = -3 (감소하는 등차수열)
aₙ = a + (n-1)d = 5 + (n-1)·(-3) = 5 - 3n + 3 = 8 - 3n
검증: a₁ = 8 - 3 = 5 ✓, a₂ = 8 - 6 = 2 ✓, a₅ = 8 - 15 = -7 ✓
참고: 8 - 3n과 -3n + 8은 같은 식이지만, B와 D 중 정확한 전개식인 8 - 3n이 정답이야.

객관식

첫째항 1, 공비 2인 등비수열의 첫 6항의 합 S₆은?

등비수열의 합 Sₙ = a(rⁿ - 1)/(r - 1)을 사용해. a = 1, r = 2, n = 6을 대입해봐. 또는 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32를 직접 더해도 돼!

해설

등비수열 합 공식 Sₙ = a(rⁿ - 1)/(r - 1)에서 a = 1, r = 2, n = 6:
S₆ = 1 · (2⁶ - 1) / (2 - 1) = (64 - 1) / 1 = 63
확인: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 ✓
강의에서 직접 나온 예제야!

객관식

Sₙ = n² + 4n일 때 일반항 aₙ은? (n ≥ 2)

aₙ = 2n + 5
aₙ = n + 4
aₙ = 2n + 1
aₙ = 2n + 3

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ 공식을 사용해. Sₙ = n² + 4n이고 Sₙ₋₁은 n 자리에 (n-1)을 대입하면 돼. 전개 후 정리해봐!

해설

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ (n ≥ 2)
= (n² + 4n) - [(n-1)² + 4(n-1)]
= n² + 4n - [n² - 2n + 1 + 4n - 4]
= n² + 4n - n² + 2n - 1 - 4n + 4
= 2n + 3
n = 1 확인: a₁ = S₁ = 1 + 4 = 5, 공식에 n=1 대입: 2(1)+3 = 5 ✓
따라서 모든 자연수 n에서 aₙ = 2n + 3. 강의에서 직접 나온 예제야!

객관식

양수 a = 4, b = 9에 대해 산술평균, 기하평균, 조화평균의 대소 관계로 옳은 것은?

기하평균 > 산술평균 > 조화평균
산술평균 > 기하평균 > 조화평균
조화평균 > 산술평균 > 기하평균
산술평균 = 기하평균 = 조화평균

AM-GM-HM 부등식을 기억해봐. 양수에서 산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균이야. a ≠ b이면 등호 없이 부등호가 성립해!

해설

강의의 예제 그대로: a = 4, b = 9
산술평균 = (4 + 9) / 2 = 6.5
기하평균 = √(4 × 9) = √36 = 6
조화평균 = 2·4·9 / (4 + 9) = 72/13 ≈ 5.54
6.5 > 6 > 5.54이므로 산술평균 > 기하평균 > 조화평균
AM-GM-HM 부등식: (a+b)/2 ≥ √(ab) ≥ 2ab/(a+b), 등호는 a = b일 때만 성립!

객관식

Sₙ = 3·4ⁿ - 3일 때 일반항 aₙ은?

aₙ = 9·4^(n-1)
aₙ = 3·4^(n-1)
aₙ = 12·4^(n-1)
aₙ = 9·4^n

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁을 사용해. 3·4ⁿ - (3·4^(n-1)) = 3·4^(n-1)(4-1) = ?. 계산 후 n = 1도 꼭 확인해봐!

해설

n ≥ 2일 때: aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁
= (3·4ⁿ - 3) - (3·4^(n-1) - 3)
= 3·4ⁿ - 3·4^(n-1)
= 3·4^(n-1)·(4 - 1)
= 9·4^(n-1)
n = 1 확인: a₁ = S₁ = 3·4 - 3 = 9, 공식에 n=1: 9·4⁰ = 9 ✓
이 수열은 첫째항 9, 공비 4인 등비수열이야. 강의에서 직접 나온 예제!

객관식

2, b, 6이 조화수열을 이룰 때 b의 값은? (단, 조화수열이란 역수가 등차수열인 수열이다)

4
6
√12
3

조화수열의 정의: 역수가 등차수열. 그러니까 1/2, 1/b, 1/6이 등차수열이어야 해. 조화중항 조건 2/b = 1/a + 1/c 를 사용해봐!

해설

2, b, 6이 조화수열이므로 1/2, 1/b, 1/6이 등차수열
조화중항 조건: 2/b = 1/2 + 1/6
2/b = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3
b = 2 ÷ (2/3) = 2 × 3/2 = 3
확인: 1/2, 1/3, 1/6 → 공차 = 1/3 - 1/2 = -1/6, 1/6 - 1/3 = -1/6 ✓ (공차 -1/6인 등차수열)
강의에서 직접 나온 예제야!

5강 - 여러 가지 수열의 합

객관식 10문항 | 하 3 · 중 5 · 상 2

객관식

다음 시그마 표현을 전개한 것으로 옳은 것은?
∑_k=1⁴ (2k − 1)

1 + 2 + 3 + 4
1 + 3 + 5 + 7 + 9
1 + 3 + 5 + 7
2 + 4 + 6 + 8

k = 1, 2, 3, 4를 차례로 대입해서 2k−1의 값을 구해봐. k=1이면 2(1)−1=1, k=2이면 2(2)−1=3, ...

해설

k=1부터 4까지 2k−1에 대입하면: k=1→1, k=2→3, k=3→5, k=4→7. 따라서 1+3+5+7이야. k=5까지 가면 9가 포함되지만 ∑의 상한이 4이므로 9는 포함하지 않아.

객관식

Σ의 성질에 대한 설명 중 옳지 않은 것은?

∑(aₖ + bₖ) = ∑aₖ + ∑bₖ (분배법칙 성립)
∑(c · aₖ) = c · ∑aₖ (상수배 가능)
∑_k=1ⁿ c = cn (상수를 n번 더한 값)
∑(aₖ · bₖ) = ∑aₖ · ∑bₖ (곱도 분리 가능)

Σ는 덧셈 기호이기 때문에 덧셈의 성질은 따르지만, 곱에 대해서는 특별한 규칙이 있어. 강의에서 "주의!"로 강조된 내용을 떠올려봐.

해설

강의에서 명시적으로 경고했듯이, ∑(aₖ·bₖ) ≠ ∑aₖ·∑bₖ야. 곱은 분리할 수 없어! 상수만 Σ 밖으로 꺼낼 수 있고, 다른 변수가 섞인 곱은 그대로 두어야 해. 이건 시험 함정으로 자주 출제돼.

객관식

∑_k=1⁵ k² 의 값은?
(공식: ∑_k=1ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6)

n=5를 공식에 대입해봐. 5×6×11÷6 = ?

해설

n=5를 공식에 대입하면: 5×(5+1)×(2×5+1)/6 = 5×6×11/6 = 330/6 = 55. 직접 확인하면 1²+2²+3²+4²+5² = 1+4+9+16+25 = 55로 일치해. 강의 예제에서도 ∑_k=1⁵ k² = 55로 나왔던 값이야.

객관식

∑_k=1ⁿ aₖ = 15n, ∑_k=1ⁿ bₖ = 20n 일 때,
∑_k=1ⁿ (3aₖ − 2bₖ + 5) 의 값은?

5n
−5n
10n
15n

Σ 분리 성질을 써서 3∑aₖ − 2∑bₖ + ∑5 로 나눠. 상수합 ∑5 = 5n을 잊지 마!

해설

Σ 성질 ④(종합)를 적용하면:
3∑aₖ − 2∑bₖ + ∑5
= 3(15n) − 2(20n) + 5n
= 45n − 40n + 5n = 10n
이것은 강의 예제에 나온 문제와 동일한 유형이야. 상수항 5는 n번 더해지므로 5n이 되는 게 핵심이지.

객관식

∑_k=1¹⁰ (k² + 2k + 3) 의 값은?
(∑_k=1¹⁰ k² = 385, ∑_k=1¹⁰ k = 55)

∑k² + 2∑k + ∑3 으로 분리해. ∑_k=1¹⁰3 = 3×10 = 30이야.

해설

강의 예제에서 직접 다룬 문제야.
∑k² + 2∑k + ∑3
= 385 + 2×55 + 3×10
= 385 + 110 + 30 = 525
각 항을 분리한 뒤 공식값을 대입하는 것이 핵심이야. 상수 3은 10번 더해지므로 30이 돼.

객관식

Sₙ = n² + 3n 일 때 일반항 aₙ는? (단, n ≥ 2 공식 적용 후 n=1 검증 필요)

aₙ = 2n + 2
aₙ = 2n − 2
aₙ = n + 3
aₙ = 2n + 3

aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ 공식을 써봐. Sₙ₋₁ = (n−1)² + 3(n−1)을 전개해서 Sₙ에서 빼면 돼. n=1 검증도 잊지 마!

해설

강의 예제를 그대로 따라가면:
aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = (n²+3n) − {(n−1)²+3(n−1)}
= n²+3n − (n²−2n+1+3n−3)
= n²+3n − n²−n+2 = 2n+2
n=1 검증: a₁ = S₁ = 1+3 = 4 = 2(1)+2 = 4 ✓
따라서 aₙ = 2n+2가 모든 자연수 n에 성립해.

객관식

수열 1, 3, 7, 13, 21, 31, ...의 계차수열 {bₙ}는?

bₙ = n (공차 1인 등차수열)
bₙ = 2n (공차 2인 등차수열)
bₙ = 2ⁿ⁻¹ (공비 2인 등비수열)
bₙ = n² (제곱 수열)

이웃한 항끼리 빼봐. 3−1=?, 7−3=?, 13−7=? 이 값들이 계차수열이야. 패턴이 보여?

해설

강의 계차수열 예제 1과 동일한 수열이야.
3−1=2, 7−3=4, 13−7=6, 21−13=8, 31−21=10
계차수열: 2, 4, 6, 8, 10, ... → 첫항 2, 공차 2인 등차수열 → bₙ = 2n
이를 이용하면 aₙ = 1 + ∑_k=1ⁿ⁻¹2k = n²−n+1이 복원돼.

객관식

수열 3, 4, 6, 10, 18, 34, ...에서 계차수열을 이용하여 구한 일반항 aₙ은?

aₙ = 2ⁿ + 1
aₙ = 2ⁿ⁻¹ + 3
aₙ = 2ⁿ⁻¹ + 2
aₙ = 2ⁿ − 1

계차를 구하면 1, 2, 4, 8, 16, ...이야. 이건 등비수열! bₙ = 2ⁿ⁻¹. 그다음 aₙ = a₁ + ∑_k=1ⁿ⁻¹2ᵏ⁻¹ 을 계산해봐.

해설

강의 계차수열 예제 2야.
계차: 4−3=1, 6−4=2, 10−6=4, 18−10=8 → bₙ = 2ⁿ⁻¹ (등비수열)
aₙ = 3 + ∑_k=1ⁿ⁻¹2ᵏ⁻¹ = 3 + (2ⁿ⁻¹−1)/(2−1) = 3 + 2ⁿ⁻¹−1 = 2ⁿ⁻¹+2
n=1 검증: 2⁰+2 = 1+2 = 3 = a₁ ✓

객관식

S = ∑_k=1ⁿ k·2ᵏ⁻¹ 를 공비를 곱하고 빼는 방법으로 계산한 결과는?

S = (n+1)·2ⁿ − 1
S = n·2ⁿ + 1
S = (n−1)·2ⁿ − 1
S = (n−1)·2ⁿ + 1

S를 쓰고 공비 2를 곱한 2S를 한 칸 밀어 써. 그다음 S − 2S를 계산하면 등비수열의 합이 남아. 강의 풀이 순서: S 쓰기 → 2S 밀어 쓰기 → 빼기 → 정리.

해설

강의 핵심 예제야.
S = 1·1 + 2·2 + 3·4 + ... + n·2ⁿ⁻¹
2S = 1·2 + 2·4 + ... + (n−1)·2ⁿ⁻¹ + n·2ⁿ
S − 2S = (1 + 2 + 4 + ... + 2ⁿ⁻¹) − n·2ⁿ
−S = (2ⁿ−1) − n·2ⁿ
S = n·2ⁿ − 2ⁿ + 1 = (n−1)·2ⁿ + 1

객관식

Sₙ = 2n² − n 일 때, a₁ + a₃ + a₅ 의 값은?
(단, aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2), a₁ = S₁)

먼저 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁로 일반항을 구해봐. a₁은 S₁로 따로 구하고 공식과 일치하는지 확인! 그다음 n=1, 3, 5를 대입해봐.

해설

n ≥ 2에서 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
= (2n²−n) − {2(n−1)²−(n−1)}
= 2n²−n − (2n²−4n+2−n+1)
= 2n²−n − 2n²+5n−3 = 4n−3
n=1 검증: a₁ = S₁ = 2(1)−1 = 1 = 4(1)−3 = 1 ✓ 공식 성립.
따라서 a₁ = 4(1)−3 = 1, a₃ = 4(3)−3 = 9, a₅ = 4(5)−3 = 17
a₁+a₃+a₅ = 1+9+17 = 33

6강 - 점화식과 수학적 귀납법

객관식 10문항 | 하 3 · 중 5 · 상 2

객관식

귀납법과 연역법에 대한 설명으로 옳은 것은?

귀납법은 일반적 사실에서 구체적 결론을 도출하는 방법이다
수학적 귀납법은 실제로 귀납적 추론 방법이다
귀납법은 구체적 사실들로부터 일반적 결론을 도출하는 방법이다
연역법은 여러 구체적 사례를 통해 패턴을 발견하는 방법이다

강의 표를 떠올려봐. 귀납법의 방향은 "구체 → 일반", 연역법의 방향은 "일반 → 구체"야. 그리고 수학적 귀납법은 이름과 달리 실제로는 어떤 방법이었지?

해설

강의 표에서 정리했듯이:
- 귀납법: 구체 → 일반 (여러 사실에서 일반 결론 도출)
- 연역법: 일반 → 구체 (일반 가설에서 구체 사실 검증)
- 수학적 귀납법은 이름은 귀납법이지만 실제로는 연역적 증명이야!
선택지 A는 연역법의 설명, B는 틀린 말 (실제론 연역적), D는 귀납법의 설명이야.

객관식

a₁ = 2, aₙ₊₁ = aₙ + 2로 정의된 수열의 다섯 번째 항 a₅는?

점화식을 한 단계씩 따라가봐. a₂ = a₁+2 = 4, a₃ = a₂+2 = 6, ...

해설

강의 예제 1(등차형)과 동일한 구조야.
a₁=2, a₂=4, a₃=6, a₄=8, a₅=10
이 수열은 첫항 2, 공차 2인 등차수열이고, 일반항은 aₙ = 2n이야. n=5이면 a₅ = 10.

객관식

등비수열의 세 연속항 a, b, c에 대해 등비중항 조건(b가 a와 c의 등비중항)을 나타내는 식은?

b² = ac
2b = a + c
2/b = 1/a + 1/c
b = (a+c)/2

강의 팁박스를 떠올려봐. 등차: 2b=a+c, 등비: b²=ac, 조화: 2/b=1/a+1/c. 각각의 특징은 합, 곱, 역수야.

해설

강의에서 정리한 세 가지 중항 조건:
- 등차중항: 2b = a+c (세 수의 합의 절반이 가운데 항)
- 등비중항: b² = ac (세 수의 곱의 제곱근이 가운데 항)
- 조화중항: 2/b = 1/a + 1/c (역수가 등차수열)
선택지 B는 등차중항, C는 조화중항, D는 B와 같은 의미야.

객관식

a₁ = 3, aₙ₊₁ = aₙ + 2n으로 정의된 수열의 일반항 aₙ은? (n ≥ 2)

aₙ = n² + n + 1
aₙ = n² − n + 3
aₙ = n² + 3
aₙ = 2n + 1

aₙ₊₁ = aₙ + f(n) 꼴이니까 계차 누적합 공식을 써. aₙ = a₁ + ∑_k=1ⁿ⁻¹2k 를 계산해봐.

해설

강의 예제 1(f(n)이 일차)과 동일한 문제야.
aₙ = 3 + ∑_k=1ⁿ⁻¹2k = 3 + 2·(n−1)n/2 = 3 + n(n−1)
= n²−n+3
n=1 검증: 1−1+3 = 3 = a₁ ✓
Σk = k(k+1)/2 공식에서 k 자리에 (n−1)을 넣으면 (n−1)n/2이야.

객관식

a₁ = 2, aₙ₊₁ = aₙ + 3ⁿ으로 정의된 수열의 일반항 aₙ은? (n ≥ 2)

aₙ = 3ⁿ − 1
aₙ = (3ⁿ + 3)/2
aₙ = (3ⁿ + 1)/2
aₙ = 3ⁿ⁻¹ + 2

f(k)=3ᵏ이 등비수열이야. aₙ = 2 + ∑_k=1ⁿ⁻¹3ᵏ 를 등비수열 합 공식으로 계산해봐. 첫항 3, 공비 3, 항수 n−1이야.

해설

강의 예제 2(f(n)이 거듭제곱)야.
aₙ = 2 + ∑_k=1ⁿ⁻¹3ᵏ = 2 + 3·(3ⁿ⁻¹−1)/(3−1)
= 2 + (3ⁿ−3)/2
= (4 + 3ⁿ−3)/2 = (3ⁿ+1)/2
n=1 검증: (3+1)/2 = 2 = a₁ ✓
등비수열 합 공식에서 첫항이 3¹=3, 마지막항 3ⁿ⁻¹, 항수 n−1임에 주의해.

객관식

a₁ = 3, aₙ₊₁ = (n/(n+1))·aₙ 으로 정의된 수열의 일반항 aₙ은?

aₙ = 3/n
aₙ = 3n
aₙ = 3/(n+1)
aₙ = 1/n

aₙ₊₁ = aₙ·f(n) 꼴이니 비 누적곱 공식을 써. Π(k/(k+1))를 펼쳐 써봐 — 망원급수처럼 중간항이 소거돼!

해설

강의 예제 1(분수형 비)과 동일한 문제야.
aₙ = 3 · Π_k=1ⁿ⁻¹k/(k+1)
= 3 · (1/2)·(2/3)·(3/4)·...·(n−1)/n
분자: 1·2·3·...·(n−1) = (n−1)!
분모: 2·3·4·...·n = n!/(1) = n!/1
모두 소거하면 = 3·(1/n) = 3/n
n=1 검증: 3/1 = 3 = a₁ ✓

객관식

수학적 귀납법으로 명제를 증명하는 3단계 순서로 올바른 것은?

P(k)→P(k+1) 가정 → P(1) 확인 → 결론
P(1) 확인 → P(k) 가정 후 P(k+1) 증명 → 결론
P(n) 가정 → P(1) 확인 → P(2) 확인 → 결론
P(1), P(2) 확인 → P(k)→P(k+1) 증명 → 결론

강의에서 도미노 비유를 떠올려봐. ① 첫 번째 도미노가 쓰러진다 (기저 단계) → ② k번째가 쓰러지면 k+1번째도 → ③ 결론. 순서가 고정돼 있어!

해설

강의에서 정리한 수학적 귀납법 3단계야:
① P(1)이 성립함을 보인다 (기저 단계 — 첫 번째 도미노)
② P(k)가 성립한다고 가정할 때 P(k+1)도 성립함을 보인다 (귀납 단계)
③ 따라서 모든 자연수 n에 대해 P(n)이 성립한다 (결론)
선택지 D는 강한 수학적 귀납법에 가까운 서술이야.

객관식

수학적 귀납법으로 1² + 2² + ... + k² = k(k+1)(2k+1)/6 이 성립한다고 가정할 때,
n = k+1 단계에서 좌변에 추가되는 항은?

(k+1)(k+2)
(k+1)(2k+3)
(k+1)²
k(k+1)

∑_k=1^k+1 n² = ∑_k=1^k n² + (k+1)번째 항이야. k+1번째 항은 (k+1)을 n 자리에 대입한 거야.

해설

강의 등식 증명 예제의 귀납 단계야.
1² + 2² + ... + k² + (k+1)² 에서 추가된 항은 (k+1)²이야.
n = k+1일 때 좌변 = (귀납 가정의 합) + (k+1)²
= k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²
이것을 인수분해하면 (k+1)(k+2)(2k+3)/6이 되어 우변과 일치하지.

객관식

a₁ = 1, aₙ₊₁ = 2ⁿ · aₙ 으로 정의된 수열의 일반항 aₙ은?

aₙ = 2ⁿ
aₙ = 2ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/²
aₙ = 2ⁿ⁻¹
aₙ = 2ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾/²

비 누적곱 공식을 써. aₙ = 1 · Π_k=1ⁿ⁻¹2ᵏ = 2^(1+2+...+(n-1)). 지수 부분이 등차수열의 합이야!

해설

강의 예제 2(거듭제곱 비)와 동일한 문제야.
aₙ = 1 · Π_k=1ⁿ⁻¹2ᵏ = 2^(1+2+3+...+(n−1))
지수 = ∑_k=1ⁿ⁻¹k = (n−1)n/2 = n(n−1)/2
따라서 aₙ = 2^(n(n−1)/2)
n=1 검증: 2⁰ = 1 = a₁ ✓
선택지 B의 n(n+1)/2 지수는 ∑_k=1ⁿk = n(n+1)/2 로 상한이 n일 때야. 이 문제에서는 상한이 n−1임에 주의해.

객관식

수학적 귀납법으로 부등식 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k ≥ 2k/(k+1) 이 성립함을 가정하고 n=k+1 단계를 증명할 때, 다음 중 올바른 흐름은?

좌변 ≥ 2k/(k+1) 이므로, 1/(k+1)을 빼서 우변과 비교한다
좌변 ≥ 2k/(k+1) + 1/(k+1) = (2k+1)/(k+1) 이고, (2k+1)/(k+1) ≥ 2(k+1)/(k+2) 임을 보인다
귀납 가정을 쓰지 않고 직접 좌변 전체를 계산한다
n=k+1의 우변 2(k+1)/(k+2)가 2k/(k+1)보다 작음을 이용한다

부등식 귀납법의 핵심은 "귀납 가정(★)을 어디에 써서 부등호를 연결하는가"야. 강의 풀이를 떠올려봐: 좌변에 귀납 가정을 적용한 뒤 1/(k+1)을 더해서 n=k+1의 우변과 비교해.

해설

강의 부등식 증명 예제의 핵심 단계야.
n=k+1일 때 좌변 = (1+1/2+...+1/k) + 1/(k+1)
귀납 가정(★): 1+...+1/k ≥ 2k/(k+1) 을 대입
≥ 2k/(k+1) + 1/(k+1) = (2k+1)/(k+1)
목표 우변: 2(k+1)/(k+2)
(2k+1)(k+2) = 2k²+5k+2 vs 2(k+1)² = 2k²+4k+2
k≥1이면 2k²+5k+2 ≥ 2k²+4k+2 이므로 (2k+1)/(k+1) ≥ 2(k+1)/(k+2) ✓
선택지 C(귀납 가정 미사용)는 귀납법의 핵심을 놓치는 접근이야.

7강 - 평면좌표

객관식 10문항 | 하 3 · 중 5 · 상 2

객관식

수직선 위의 두 점 A(−3), B(5) 사이의 거리는?

수직선 위 두 점 A(a), B(b) 사이의 거리는 |a − b| 야. 절댓값 잊지 마!

해설

AB = |−3 − 5| = |−8| = 8. 수직선 거리는 두 좌표의 차에 절댓값을 취하면 돼.

객관식

좌표평면 위의 점 A(3, 2), B(7, 5) 사이의 거리 AB는?

√7
√13
5
7

거리 공식: AB = √((x_a − x_b)² + (y_a − y_b)²). 피타고라스 정리 적용!

해설

AB = √((7−3)² + (5−2)²) = √(16 + 9) = √25 = 5. 강의 예제 그대로야. x 차이 4, y 차이 3 → 3:4:5 직각삼각형!

객관식

두 점 A(1, 2), B(7, 8)의 중점 M의 좌표는?

(3, 4)
(4, 5)
(5, 6)
(6, 7)

중점은 두 좌표의 평균! M = ((x_a + x_b)/2, (y_a + y_b)/2)

해설

M = ((1+7)/2, (2+8)/2) = (8/2, 10/2) = (4, 5). 중점은 1:1 내분점으로, 두 좌표의 평균이야.

객관식

두 점 A(1, 2), B(7, 8)을 2:1로 내분하는 점 P의 좌표는?

(3, 4)
(4, 5)
(5, 6)
(6, 7)

내분 공식: P = ((n·x_a + m·x_b)/(m+n), (n·y_a + m·y_b)/(m+n)). m:n = 2:1이므로 B 쪽 좌표에 m=2, A 쪽 좌표에 n=1이 곱해져!

해설

m=2, n=1 대입. x = (1·1 + 2·7)/(2+1) = (1+14)/3 = 15/3 = 5. y = (1·2 + 2·8)/(2+1) = (2+16)/3 = 18/3 = 6. ∴ P = (5, 6). 강의 예제와 같은 문제야!

객관식

평행사변형 ABCD에서 A(1, 2), B(3, 5), C(7, 4)일 때, 꼭짓점 D의 좌표는?

(4, 0)
(5, 1)
(6, 2)
(3, 3)

평행사변형에서 두 대각선 AC, BD의 중점이 같아야 해. 먼저 AC의 중점을 구한 뒤, BD의 중점이 같다는 조건으로 D를 구해!

해설

AC의 중점 = ((1+7)/2, (2+4)/2) = (4, 3). BD의 중점도 (4, 3)이어야 하므로 ((3+a)/2, (5+b)/2) = (4, 3). 따라서 3+a=8 → a=5, 5+b=6 → b=1. ∴ D = (5, 1). 강의 예제와 동일!

객관식

삼각형의 세 꼭짓점이 A(2, 0), B(4, 6), C(6, 3)일 때, 무게중심 G의 좌표는?

(4, 3)
(3, 4)
(5, 3)
(4, 4)

무게중심 G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3). 세 꼭짓점 좌표의 평균이야!

해설

G = ((2+4+6)/3, (0+6+3)/3) = (12/3, 9/3) = (4, 3). 무게중심은 세 좌표의 평균이야. 중점(2개 평균)과 혼동하지 말 것!

객관식

두 점 A(1, 2), B(7, 8)을 3:1로 외분하는 점 Q의 x좌표는?

외분 공식 x좌표: (−n·x_a + m·x_b)/(m−n). 내분 공식의 n을 −n으로 바꾼 것! m=3, n=1 대입.

해설

m=3, n=1. x = (−1·1 + 3·7)/(3−1) = (−1+21)/2 = 20/2 = 10. 외분 공식은 내분 공식에서 n → −n, 분모 m+n → m−n으로 바꾸면 돼.

객관식

삼각형 ABC에서 AB = 6, AC = 8, BC = 4일 때, BC의 중점 M에 대해 중선 AM의 길이는?

√40
√44
√45
√46

파푸스 중선정리: AB² + AC² = 2(AM² + BM²). M은 BC의 중점이므로 BM = BC/2 = 2.

해설

BM = 4/2 = 2. 파푸스 중선정리: 6² + 8² = 2(AM² + 2²) → 36 + 64 = 2·AM² + 8 → 100 = 2·AM² + 8 → AM² = 46 → AM = √46. 강의 예제와 동일한 풀이야!

객관식

두 점 A(m², m), B(1, −m) 사이의 거리가 2일 때, m의 값은? (단, m은 실수)

m = 0
m = ±1
m = ±2
m = 1만

거리 공식을 세운 뒤 양변을 제곱해서 루트를 없애. (m²−1)² + (2m)² = 4 형태로 정리하면 m⁴+2m²−3=0이 돼. 인수분해!

해설

√((m²−1)² + (m−(−m))²) = 2. 양변 제곱: (m²−1)² + (2m)² = 4. 전개: m⁴−2m²+1+4m²=4 → m⁴+2m²−3=0. 인수분해: (m²+3)(m²−1)=0. m²=−3 불가, m²=1 → m = ±1. 강의 응용 예제야!

객관식

삼각형 ABC에서 A(1, 4), B(4, 8), C(9, 10)일 때, ∠A의 이등분선이 BC와 만나는 점 D의 좌표는?

(17/3, 26/3)
(5, 9)
(6, 9)
(16/3, 25/3)

풀이 3단계: ① AB, AC 거리 계산 → ② 각의 이등분선 정리로 BD:DC 비 구하기 (= AB:AC) → ③ D를 내분점 공식으로 계산.

해설

① AB = √((4−1)²+(8−4)²) = √(9+16) = 5. AC = √((9−1)²+(10−4)²) = √(64+36) = 10. ② BD:DC = AB:AC = 5:10 = 1:2. ③ D는 BC를 1:2로 내분: D_x = (2·4+1·9)/(1+2) = 17/3, D_y = (2·8+1·10)/3 = 26/3. ∴ D = (17/3, 26/3). 강의 예제와 동일!

8강 - 함수

객관식 10문항 | 하 3 · 중 5 · 상 2

객관식

함수 f: X → Y 에서 "치역"에 대한 설명으로 옳은 것은?

치역은 공역 Y와 항상 같다.
치역은 정의역 X와 항상 같다.
치역은 공역의 부분집합이다.
치역은 정의역의 부분집합이다.

치역 = 실제로 대응된 값들의 집합. 공역의 모든 원소가 반드시 대응될 필요는 없어.

해설

치역 = f(X) = {f(x) | x ∈ X} ⊆ Y. 치역은 공역의 부분집합이야. 공역의 원소 중 실제로 대응된 것만 치역에 포함되므로 치역 ⊆ 공역. 치역 = 공역이 되는 특수한 경우가 바로 전사함수(위로의 함수)야.

객관식

다음 중 함수가 아닌 경우에 해당하는 것은?

정의역의 두 원소가 공역의 같은 원소에 대응된다.
정의역의 한 원소가 공역의 두 원소에 동시에 대응된다.
치역이 공역보다 작다.
공역의 일부 원소가 대응되지 않는다.

함수가 아닌 두 경우: ① 정의역에 대응 없는 원소 존재, ② 정의역의 한 원소가 여러 값에 대응. 자판기 비유 — 버튼 하나에 음료 하나만!

해설

함수가 아닌 경우는 두 가지: ① 정의역 원소에 대응되는 값이 없는 경우, ② 정의역의 한 원소가 둘 이상의 값에 대응되는 경우. B가 바로 ②에 해당해. A(여러 원소가 같은 값 대응)는 허용, C·D도 함수로 성립 가능해.

객관식

X = {1, 2, 3}, Y = {a, b, c, d}일 때, X에서 Y로의 함수의 총 개수는?

함수의 개수 공식: n(Y)^n(X) = n^m. 여기서 m=3, n=4.

해설

n(X)=3, n(Y)=4이므로 함수의 개수 = 4³ = 64. 정의역의 각 원소(3개)마다 공역의 원소(4개) 중 하나를 선택할 수 있고 중복을 허용하므로 4×4×4 = 64. 강의 예제와 동일!

객관식

X = {1, 2, 3}, Y = {a, b, c, d}일 때, X에서 Y로의 일대일 함수(단사함수)의 개수는?

일대일 함수의 개수 = ₙPₘ (n ≥ m일 때). n=4, m=3이므로 ₄P₃을 계산해봐!

해설

일대일 함수의 개수 = ₄P₃ = 4×3×2 = 24. 서로 다른 값에만 대응해야 하므로 중복 불가 → 순열. 첫 번째 원소는 4가지, 두 번째는 3가지, 세 번째는 2가지 선택 가능. 강의 예제와 동일!

객관식

f(x) = x − 1, g(x) = x²일 때, (g ∘ f)(3)의 값은?

(g∘f)(x) = g(f(x)). 오른쪽 f부터 먼저 적용! x=3을 f에 넣고, 그 결과를 g에 넣어봐.

해설

(g∘f)(3) = g(f(3)) = g(3−1) = g(2) = 2² = 4. 합성함수는 오른쪽 함수(f)를 먼저 계산하고, 그 결과를 왼쪽 함수(g)에 대입해. 강의 예제: (g∘f)(x) = (x−1)²이므로 (g∘f)(3) = (3−1)² = 4.

객관식

f(x) = x − 1, g(x) = x²일 때, (f ∘ g)(x)와 (g ∘ f)(x)에 대한 설명으로 옳은 것은?

(f∘g)(x) = (g∘f)(x)이다.
(f∘g)(x) = x² − 1이고 (g∘f)(x) = x² − 1이다.
(f∘g)(x) = (x−1)²이고 (g∘f)(x) = x²−1이다.
(f∘g)(x) = x² − 1이고 (g∘f)(x) = (x−1)²이다.

합성함수는 교환법칙이 성립하지 않아! (f∘g)(x) = f(g(x)), (g∘f)(x) = g(f(x))를 각각 따로 계산해봐.

해설

(f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = x²−1. (g∘f)(x) = g(f(x)) = g(x−1) = (x−1)². 두 결과가 다르므로 합성함수는 교환법칙이 성립하지 않아! 강의 예제와 동일한 내용이야.

객관식

f(x) = 2x − 1의 역함수 f⁻¹(x)는?

f⁻¹(x) = 2x + 1
f⁻¹(x) = (x + 1) / 2
f⁻¹(x) = (x − 1) / 2
f⁻¹(x) = 1 / (2x − 1)

역함수 구하는 순서: ① y = f(x)로 놓기 → ② x에 대해 풀기 → ③ x와 y 교환. 강의 예제 그대로야!

해설

① y = 2x−1. ② x에 대해 풀면: 2x = y+1, x = (y+1)/2. ③ x와 y 교환: y = (x+1)/2. ∴ f⁻¹(x) = (x+1)/2. 강의 예제 그대로야!

객관식

두 함수 f, g가 f = g (함수의 상등)가 되기 위한 조건으로 옳은 것은?

모든 x에서 f(x) = g(x)이면 충분하다.
정의역이 같으면 충분하다.
정의역이 같고, 모든 x에서 f(x) = g(x)이어야 한다.
치역이 같으면 충분하다.

함수의 상등: 두 가지 조건이 모두 필요해. 정의역이 다르면 같은 식이라도 다른 함수야!

해설

함수의 상등 조건: ① 정의역이 같다 + ② 모든 x에서 f(x) = g(x). 두 조건 모두 필요해. 예를 들어 f(x) = x²을 정의역 {1,2,3}과 {1,2,3,4}에서 정의하면, 값이 같더라도 정의역이 달라서 f ≠ g야.

객관식

X = {1, 2, 3}, Y = {a, b, c}일 때, X에서 Y로의 일대일 대응의 개수와, X에서 Y로의 전체 함수의 개수의 차는?

n(X) = n(Y) = 3이므로 일대일 대응 존재! 일대일 대응 개수 = m! = 3!. 전체 함수 개수 = n^m = 3³. 차를 구해봐.

해설

m = n = 3이므로 일대일 대응 개수 = 3! = 6. 전체 함수 개수 = 3³ = 27. 차 = 27 − 6 = 21. 강의 예제에서 n=m=3일 때 함수 27가지, 일대일 대응 6가지를 배웠지!

객관식

f(x) = 2x − 1에 대해 (f⁻¹ ∘ f)(5)의 값과, y = f(x)의 그래프와 y = f⁻¹(x)의 그래프의 관계로 모두 옳은 것은?

(f⁻¹∘f)(5) = 0, y = f(x)와 y = f⁻¹(x)는 x축에 대해 대칭
(f⁻¹∘f)(5) = 5, y = f(x)와 y = f⁻¹(x)는 y = x에 대해 대칭
(f⁻¹∘f)(5) = 5, y = f(x)와 y = f⁻¹(x)는 y축에 대해 대칭
(f⁻¹∘f)(5) = 9, y = f(x)와 y = f⁻¹(x)는 y = x에 대해 대칭

f⁻¹ ∘ f = I (항등함수)야. 그러므로 (f⁻¹∘f)(5) = I(5) = 5. 역함수 그래프는 y = x에 대해 대칭!

해설

f⁻¹ ∘ f = I_X (항등함수)이므로 (f⁻¹∘f)(5) = 5. 역함수의 그래프는 원래 함수의 그래프를 y = x에 대해 대칭이동한 것이야. 두 가지 핵심 성질: f⁻¹(f(x)) = x, 그리고 그래프는 y=x 대칭. 강의 핵심 정리 내용이야!